diofantiske likninger

[Matematikkk]

Kan noen fortelle litt om diodfantiske likninger på formen ax+by=c?
f.eks 10x+7y=30.

Korleis finn ein løysingane på slike likningar, og når har den løysingar?

Har den alltid uendelig mange likningar?

Finst det fleire måtar å løyse dei på?

[Cauchy]

Jeg tror, forutsatt at a er ulik 0 og b er ulik 0, så har den uendelig mange løsninger. Vil du tegne løsningsmengden i R[sup]2[/sup] ligger den på linja den funsjonen beskriver.

Har du enten a=0 eller b=0 har den 1 løsn

Har du a=b=0 må også c=0, ellers ingen løsn.

har på ingen måte satt meg skikkelig inn i dette, så sier dette med litt forbehold, men tror det skulle stemme.

[Toppris]

ax+by=c

For å bestemme om likningen har en heltallig løsning, bortsett fra den trivielle løsningen a=b=c=0 så finner en største felles divisor til a og b, gcd(a,b). Hvis gcd(a,b) går opp i c så har likningen en løsning.

Er ikke helt sikker på hvordan en skal sette opp en generell løsning av likningen ax+by=c, men jeg kan godt løse den du har skrevet opp så kan du se om du forstår noe av det.

10x+7y=30
Den letteste måten å finne en løsning er selvfølgelig hvis en ser én løsning med en gang. Her ser en at x=10 og y=-10 gir en løsning.
Når en har funnet en løsning som tilfredstiller likningen så får en:
x=10-bt=10-7t
y=-10+at=-10+10t

Dersom en ikke finner en løsning med en gang så kan en bruke euklids divisjonsalgoritme:
I dette tilfelle:

10=1*7+3
7=2*3+1

1=7-2*3
=7-2(10-1*7)
=7-2*10+2*7
=3*7-2*10

1 kan skrives som 3*7-2*10

Da kan 30 skrives som 90*7-60*10

Får da:
x=-60+7t
y=90-10t

Vet ikke om du får noe ut av dette, men bare kom med spørsmål dersom du har det.

[Matematikkk]

ax+by=c

Lura på om detta er riktig, såg på løsninga av ei oppgåve... men er ikkje sikker...
viss du ser en løsning og kaller de for x0 og y0, her 10 og -10.

Så får vi at x=x0+(b/gcd(a,b)t
og y=y0+(a/gcd(a,b))

Dvs her x=10+(7/1)t = 7t+10
y=-10+(10/1)t = 10t-10


Dessute vil alle løsningar av likninga ligge på ei linje, viss du veit to ligningar kan du bruke regresjon, men korleis kan ein finne linja ved hjelp av defenisjonen av x og y?

[Toppris]

Dette er nesten helt riktig, eneste er at du må sette minus foran enten (b/gcd(a,b)t eller foran (a/gcd(a,b))
Tror det er valgfritt hvilken du velger.


Dvs her x=10-(7/1)t = 10-7t
y=-10+(10/1)t = 10t-10

[Matematikkk]

ja, stemmer det du.

Linja der alle løsningene ligger har formen Y= px+q
p=-a/b
q=y0+((a*x0)/b)

Diofantiske likninger også vere av andre grad. Veit nokon korleis slike ser ut, eller korleis ein løyser dei?

[Algebracus]

Diofantinske likningar er generelt sett likningar der me er interesserte i å finna heiltalsløysningar (og ikkje reelle løysningar), og sjølvsagt finst det diofantinske likningar av andre grad, men også av tredje grad og fjerde grad og så vidare. Til dømes har me Pell-likningar, som er på forma x[sup]2[/sup] - Dy[sup]2[/sup] = 1, som (nett som for likninga ax + by = c) er slik at kjenner me ei løysning (den "minste" løysninga), så kan me ved rekursjon finna alle andre. Eit anna eksempel er likninga x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = z[sup]2[/sup], som har løysningar x = 2mn, y = m[sup]2[/sup] - n[sup]2[/sup], z = m[sup]2[/sup] + n[sup]2[/sup] (og ombyte av x og y).

Sjå for øvrig http://mathworld.wolfram.com/topics/Dio ... tions.html.