matematikk.net

(Jeg tar NTNUs Matematikk 1 -- dette er oppgave 3 fra eksamen 75001/75011 fra 1994-08-15.)

Oppgaven lyder: "Et kuleformet akvarium med radius 30 cm fylles med vann, 50 cm[sup]3[/sup]/s. Hvor hurtig stiger vannet i akvariet ved det tidspunkt da vanndybden (midt i akvariet) er 10 cm?".

Hvis jeg kjente radien til sirkelen av vannoverflaten når vannet står opp 10 cm, da kunne jeg vel bare dele den oppgitte innstrømningsraten på arealet av denne sirkelen? Hvordan finner jeg radien når jeg kjenner vanndybden (la oss kalle den h)?

Fasiten sier at vannet stiger med 0.03 cm/s når dybden er 10 cm. Hvis framgangsmåten ovenfor er riktig, medfører det at radien til vannoverflatesirkelen da er ca. 23 cm.

Dette handler vel om den deriverte på en måte; har du kommentar til teksten ovenfor og eventuelt løsningsforslag/annen hjelp? Mange takk.

Ta en titt på denne oppgaven, kanskje den setter deg på sporet :]

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=19363

Jeg har tenkt mye på denne oppgaven, men kommet til at den ligger over hodet på meg.

Kan noen ta den, slik at jeg ser hvordan dette henger sammen?

MatteNoob skrev:Jeg har tenkt mye på denne oppgaven, men kommet til at den ligger over hodet på meg.
Kan noen ta den, slik at jeg ser hvordan dette henger sammen?

hmmm...prøver meg iallfall;

Lager meg ett tversnitt gjennom kula. Hvor h er avstanden vannet står over bunnen. Lager så 1 rettvinkla trekant. Finner så den horisontale lengda y ("radius)" av vannstanden vha Pytagoras:

h(t) = h, y = y(t) og V(t) = V

[tex]y=\sqrt{30^2\,-\,(30-h)^2}=\sqrt{60h-h^2}[/tex]


[tex]V=\pi \int y^2\,dt=\pi \int (60h\,-\,h^2)dt[/tex]

[tex]\frac{dV}{dt}=\pi (60h-h^2)\,\frac{dh}{dt}[/tex]

[tex]50=\pi(60\cdot 10\,-\,10^2)\cdot h^,(t)[/tex]

[tex]h^,(t)=0,0318\,(cm/s)[/tex]

fikk jeg...

Riktig svar som Janhaa kommer fram til her, men det kan gjøres litt enklere. Legg merke til at [tex]A = \pi r^2 = A(60h - h^2)[/tex] og at dV = A*dh, dermed dV/dt = A*dh/dt. Bare å løse for dh/dt.

(Litt mer formelt kan man vel se at dV/dh = A og fra kjerneregelen følger det da at A = dV/dt *dt/dh)

Tusen hjertlig takk til dere begge to. Tror nok jeg har litt andre ting å jobbe med før jeg tar fatt på dette, men dette virker uhyre interessant, for man kan jo bruke det på veldig mange forskjellige ting.

Anngående denne oppgaven. Hvorfor er det galt å si at
dV/dt = dV/dr * dr/dt ? Når dV/dr = 4pi*r^2 og [tex]\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{60h-h^2}}\cdot 60\frac{dh}{dt}-2h\frac{dh}{dt}[/tex]

Får ikke riktig svar hvis man løser dette for dh/dt..