matematikk.net

Heisann!

Jeg får ikke til å løse dette integralet.

[tex]\int tan^3 x \ sec^2 x \ dx[/tex]

Jeg begynner med å bruke enhetsregelen

[tex]sin^2 x + cos^2 x = 1[/tex]

Som kan gjøres om til

[tex]tan^2 x + 1= sec^2 x[/tex]

Og da får jeg

[tex]\int tan^3 x \(tan^2 x + 1\) \ dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x + tan^3 x \ dx[/tex]


Nå kommer jeg ikke videre. Håper noen kan hjelpe.

prøv [tex]u=\tan^2x+1[/tex]

Den deriverte til tan x er nettopp sec^2 x, så da er den naturlige substitusjonen u=tan x.

Jeg tror ikke jeg forstår helt enda. Når jeg prøver med substitusjon får jeg ikke løst bort x. Hva gjør jeg galt?

Begge substitusjonene vil gi en lineær integrand av u - jobb med algebraen.

Jeg får det rett og slett ikke til. Kan du kanskje hjelpe meg litt til på vei?

Jeg er av den oppfatning at du lærer mer av å få dette til på egenhånd. Et løsningsforslag vil ikke gjøre deg så mye klokere. Vis oss hva du prøver, så skal vi heller veilede deg med utgangspunkt i det.

[tex]\int tan^3 x \(tan^2 x + 1\)dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x \ + \ tan^3\ dx[/tex]

[tex]=\int tan^5 x \ + \ \int tan^3\ dx[/tex]

[tex]I_1=\int tan^5 x\ dx[/tex]

[tex]I_2=\int tan^3 x\ dx[/tex]

[tex]u=tanx[/tex]

[tex]\frac{du} {dx}=sec^2 x[/tex]

[tex]du=sec^2x\ dx[/tex]

[tex]I_1=\int u^5\ du [/tex]

Her kommer jeg ikke videre ved å sette inn [tex]du=sec^2x\ dx[/tex]

1) Hvorfor deler du de opp?
2) Husk at du ikke bare kan substituere et uttrykk med en variabel og integrere med hensyn på denne!

Det kom kanskje ikke klart fram, men u=1+tan^2 x vil fungere når du har skrevet det om, u=tan x vil fungere i det opprinnelige integralet.

Okei, nå tror jeg at jeg klarte den.

[tex]\int tan^3x \ sec^2x \ dx \\ u=tanx \\ \frac {du}{dx}=sec^2x \\ du=sec^2x \ dx \\ \int u^3\ du = \frac{1}{4}u^4+C = \frac{1}{4}tan^4x+C [/tex]

Trengte jo egentlig ikke å rote til noe som helst helt i fra begynnelsen.

Ypperlig!