Hei
Noen som veit om det eksisterer eksakt verdi for sin(x/3) uttrykt ved sin(x)?
Eimund
sin(x/3) uttrykt ved hjelp av sin(x)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Gjeve sin x (utan å nødvendigvis vita x i seg sjølv), så kan me ikkje finna sin (x/3). La til dømes sin x = 0. Då kan me tenka oss at x = 0, og sin (x/3) = 0, men til dømes x = [pi][/pi] er også mogleg, og då er sin (x/3) = 0,5[rot][/rot]3. Med andre ord: Det finst ingen eksplisitt formel for sin (x/3) uttrykt ved sin x; me må eventuelt også ta med x på ei eller anna annan form.
Litt kan me likevel seia: Generelt gjeld sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x og cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y. Då har me sin (2y) = 2sin y cos y og cos (2y) = 2(cos y)^2 - 1. Dette gjev vidare sin (3y) = sin (2y) cos y + sin y cos (2y) = 2sin y (cos y)^2 + 2sin y (cos y)^2 - sin y = 4 sin y(1 - (sin y)^2) - sin y = 3sin y - 4(sin y)^3.
La sin x = a, sin (x/3) = b. Då har me a = 3b - 3b^2, dvs. 3b^3 - 3b + a = 0, ein tredjegradslikning som har minst ei reell rot og maksimalt tre reelle røter b. Gjeve sin x er det altså maksimalt tre ulike kandidatar for sin (x/3). (Med litt meir rutinearbeid kan me nok finna ut for kva sin x me har tre kandidatar, og for kva sin x, om nokon i det heile, me har færre kandidatar.)
Litt kan me likevel seia: Generelt gjeld sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x og cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y. Då har me sin (2y) = 2sin y cos y og cos (2y) = 2(cos y)^2 - 1. Dette gjev vidare sin (3y) = sin (2y) cos y + sin y cos (2y) = 2sin y (cos y)^2 + 2sin y (cos y)^2 - sin y = 4 sin y(1 - (sin y)^2) - sin y = 3sin y - 4(sin y)^3.
La sin x = a, sin (x/3) = b. Då har me a = 3b - 3b^2, dvs. 3b^3 - 3b + a = 0, ein tredjegradslikning som har minst ei reell rot og maksimalt tre reelle røter b. Gjeve sin x er det altså maksimalt tre ulike kandidatar for sin (x/3). (Med litt meir rutinearbeid kan me nok finna ut for kva sin x me har tre kandidatar, og for kva sin x, om nokon i det heile, me har færre kandidatar.)