matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med følgende oppgave? Gjerne med vekt på det formelle oppsettet.

_____________________________________________________________
Find a matrix A such that the transformation x |-> Ax maps
[1,3] and [2,7] into [1,1] and [3,1], respectively. [Hint: Write a matrix equation involving A, and solve for A.]
_____________________________________________________________

x er en vektor.
[1,3], [2,7], [1,1] og [3,1] er vektorer gitt som 2x1-matriser.

Jeg har aldri vært borti slike oppgaver før, men jeg kan tenke meg hva man skal gjøre. Trikset er vel å orden vektorene dine i to 2x2 matriser. Dvs, hvis vektorene du skrev på siste linje kalles hhv x1,x2,y1 og y2, så definerer du matrisene X = [x1 x2] og Y = [y1 y2]. Da blir ligningen

AX = Y

Gang med den inverse av X på begge sider, så har du A.

Jeg prøvde den metoden du foreslo og fikk rett svar når jeg satte
A=YX[sup]-1[/sup]

Generelt er jo ikke
YX[sup]-1[/sup]=X[sup]-1[/sup]Y
Hvorfor fungerer det første? Hvordan vet jeg at jeg må bruke det første uttrykket og ikke det siste?

Det er slik det er med matriser; du må passe på hvilken side matrisene multipliseres. For to nxn matriser A og B så har vi generelt at AB er ulik BA. Det er sjelden disse er like.

For at du skal vite hvilken side du skal gange Y og X[sup]-1[/sup], så se på uttrykket AX. På hvilken side må du gange X[sup]-1[/sup] for å få A alene; jo på høyre side. Og du må selvsagt også gjøre det tilsvarende på den andre siden.

Tenk på det som om du ganger hele ligningen med X[sup]-1[/sup] fra høyre side.

Så hvis det står
XA=Y
får jeg A alene ved å gjøre slik?
X[sup]-1[/sup]XA=A=X[sup]-1[/sup]Y

Så hvis det står
XA=Y
får jeg A alene ved å gjøre slik?
X[sup]-1[/sup]XA=A=X[sup]-1[/sup]Y

Dette stemmer

Det er viktig å huske at matrisemultiplikasjon generelt ikke er kommutativ.

Ja, det er riktig det, men det er ikke slik ligningen din så ut.

Jeg regner med at du vet hva som skjer når du ganger en matrise B med dens inverse B[sup]-1[/sup]? Vi har at (med noen begrensninger riktignok)

BB[sup]-1[/sup] = B[sup]-1[/sup]B = I

der I er identitetsmatrisen. I fungerer som tallet 1, den gjør ingen endringer når du ganger denne med en annen matrise. (å gange en matrise med dens inverse tilsvarer da å dele et tall med seg selv, man får tallet 1).

Så har du en ligning

AX = Y

der X og Y er kjent, så er målet å få A alene på den ene siden. Du kan jo se hva som skjer når vi ganger med X[sup]-1[/sup] fra venstre side.

AX = Y
X[sup]-1[/sup]AX = X[sup]-1[/sup]Y

og så står vi fast. Vi kommer ikke lenger. Men hva hvis vi ganger fra høyre side:

AX = Y
AXX[sup]-1[/sup] = YX[sup]-1[/sup]
AI = YX[sup]-1[/sup]
A = YX[sup]-1[/sup]

der jeg har brukt at AI = A for I gjør ingen endringer.

Bare spør hvis noe er uklart.

Takker. Da forstod jeg det.