Inverse funksjoner, finne uttrykk.

[mariusmarius]

Hei. Sliter med å bearbeide denne funksjonen, sånn at jeg kan finne et uttrykk for x med y som variabel.

y = e^x / ( e^x +2 )

Så tar jeg

ln y = ln(e^x) - ln(e^x +2)

ln y = x - ln(e^x + 2)

x = ln y + ln(e^x+2)

Men det der hjelper meg jo ikke mye når jeg ikke får skillt vekk den siste x'en på høyresiden der!

[Vektormannen]

[tex]y = \frac{e^x}{e^x + 2}[/tex]

[tex]y(e^x + 2) = e^x[/tex]

[tex]ye^x + 2y - e^x = 0[/tex]

Ser du hva du kan gjøre for å isolere [tex]e^x[/tex] nå?

[Olorin]

[tex]y=\frac{e^x}{e^x+2}[/tex]

[tex]ye^x+2y=e^x[/tex]

[tex]2y=e^x-ye^x[/tex]

[tex]2y=e^x(1-y)[/tex]

etc..

Edit: redigerte en brøler

[mariusmarius]

tror jeg sitter med litt hjerneteppe her nå, men jeg greier ikke å se hvordan e^x er blitt isolert. Liten forklaring/mellomregning hadde jeg vært veeldig takknemmelig for.

[Olorin]

Skjønner at du ble litt forvirret av den forrige posten min, har endret feilen nå. Hjalp det? hvis ikke si ifra

[mariusmarius]

Ja, o' store frelser så det hjalp !

Følte meg veldig sliten i hodet istad, men nå er jeg tilbake på sporet!

[silje <3]

Men hvis vi ser på f'(x) * f'-1(x) = 1 får hvertfall jeg ingen samstemming.

[Vektormannen]

Husk på at [tex]f^{-1}(x)[/tex] ikke er en notasjon for [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex]!

[silje <3]

Det var heller ikke mitt poeng, men derivasjonsregelen for en invers funksjon sier at den deriverte av inversen multiplisert med den deriverte av funksjonen er 1. Dette får ikke jeg gjennom å sette fasiten for den inverse til:
x = ln 2y - ln (1-y)

[Vektormannen]

Unnskyld, jeg så ikke apostrofen.

[tex]f^\prime(x) = \frac{(e^x)^\prime \cdot (e^x + 2) - (e^x + 2)^\prime \cdot e^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}[/tex]

[tex]f^\prime^{-1}(y) = \frac{1}{2y} \cdot 2 - \frac{1}{1-y} \cdot (-1) = \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} = \frac{1}{y - y^2}[/tex]

Sett inn y:
[tex]f^\prime^{-1}(x) = \frac{1}{\frac{e^x}{e^x + 2} - \frac{(e^x)^2}{(e^x + 2)^2}} = \frac{1}{\frac{e^x(e^x + 2) - (e^x)^2}{(e^x + 2)^2}} = \frac{1}{\frac{2e^x}{(e^x + 2)^2}} = \frac{(e^x + 2)^2}{2e^x}[/tex]

[tex]f^\prime(x) \cdot f^\prime^{-1}(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 2)^2} \cdot \frac{(e^x + 2)^2}{2e^x} = 1[/tex]

[silje <3]

Wow, tusen takk for et detaljert og utfyllende svar. Du hjalp enormt!