matematikk.net

Har regnet ut

[tex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\int _{-1}^{1}\!{e^{-ixw}}{dx}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin w}{w}[/tex]

Hvordan bruker jeg det til å evaluere dette integralet?

[tex]{\int _{0}^{\infty}{\frac{\sin w \cos (\frac{1}{2}w)}{w}}{dw}}[/tex]

Du vil ha følgende integralrepresentasjon der hvor f er kontinuerlig:

[tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin\omega}{\omega}e^{i\omega x}d\omega=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\sin\omega}{\omega}\cos(\omega x)d\omega[/tex]

der [tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,&|x|<1\\0,&\mbox{ellers}\end{array}\right.[/tex]

Du setter så inn x=1/2 på hver side og oppnår svaret.