matematikk.net

Hei igjen alle sammen!

Jeg sliter med differens ligninger - kanskje noen her kan hjelpe meg med denne ?

Finn løsningene til differenslikningen:
a[sub]n+2[/sub] - 2ba[sub]n+1[/sub] + a[sub]n[/sub]= 0

1) for b=2
2) for b=2 løs startverdiproblemet a[sub]0[/sub]=0 og a[sub]1[/sub] = 1
3) for b=4 vis at det finnes løsninger slik at følgen a[sub]n[/sub] konvergerer.



Så langt har jeg prøvd dette, men vet ikke om det er rett:

r[sup]2[/sup]-4r +1= 0

r= (2 [symbol:plussminus] [symbol:rot] 3)

Dermed er a[sub]n[/sub]= C (2+ [symbol:rot] 3)[sup]n[/sup] + D(2- [symbol:rot] 3)[sup]n[/sup]

Men hva jeg skal gjøre videre har jeg ikke peiling på. Er det noen som kan løse denne for meg please ?

Hei! Databasen på forumet gikk visst litt skeis i går, så jeg fikk ikke svart, men her har du svaret mitt:

Antatt at du har regnet riktig, har du jo funnet den generelle løsningen, som det såvidt jeg ser er spurt om i deloppgave 1

For deloppgave to skal du løse likningen med startverdier [tex]a_0 \ og \ a_1[/tex]

Det du gjør da er å sette inn for [tex]a_0 \ og \ a_1[/tex] i likningen, da vil du få to likninger med to ukjente:

[tex]a_0 = 0 = C(-2+\sqrt{3})^0 + D(-2+\sqrt{3})^0 = C + D[/tex]
[tex]a_1 = 1 = C(-2+\sqrt{3})^1 + D(-2+\sqrt{3})^1[/tex]

Løs likningssettet, og du vil finne C og D, plott disse inn i den generelle løsningen, så har du funnet den spesielle løsningen på likningen.

Deloppgave 3 er litt mer kronglete, men ikke så vanskelig, du slipper faktisk å finne noen løsning på likningen.

Sett [tex]a_{n+2} = 2ba_{n+1} - a_n[/tex]

Da skal du finne to konstanter [tex]a_{n+1} \ og \ a_n, \ \ a_{n+1} \ < \ a_n[/tex] slik at [tex]a_{n+2}[/tex] blir mindre enn [tex]a_{n+1}[/tex]. Dvs. du må putte inn startverdier, slik at følgen konvergerer mot, f.eks. null.

Tusen takk ! Satt akkurat og så på det, og hadde faktisk en liten fortegnsfeil i regningen på den generelle løsningen, men jeg endret det i teksten ovenfor.

Det skulle være r= (2 ± √ 3)

Jeg hadde faktisk kommet frem til det likningssettet for C og D, men den algebraen der sliter jeg med. Klarer du å finne den spesielle løsningen ?

Tusen takk igjen !

Off, sliter med det ligningssettet for den spesielle løsningen med startverdiene...kan det stemme at C=1/ (2 [symbol:rot] 3) og at D da blir -1/(2 [symbol:rot] 3) ?

Jeg skjønte ikke helt denne, og det du sa om at jeg ikke trengte løse noen likninger. Hvordan skal man da skrive svaret ? Det holder vel ikke å løse en slik oppgave som dette ? Eller hvordan skal man gjøre det ? Er litt lost på denne...



3) for b=4 vis at det finnes løsninger slik at følgen a[sub]n[/sub] konvergerer.

Setter a[sub]n+2[/sub]= 2ba[sub]n+1[/sub] - a[sub]n[/sub]

Ser da at vi har to konstanter a[sub]n+1[/sub] og a[sub]n[/sub],

a[sub]n+1[/sub]<a[sub]n[/sub] slik at a[sub]n+2[/sub]< a[sub]n+1[/sub]

Vi ser da rent intuitivt at det finnes startverdier som gjør at følgen konvergerer mot f.eks. null.