Likedannete (similære) matriser.

[mathvrak]

En nxn matrise A er likedannet/similær med nxn matrisen B dersom det fins en invertibel matrise P slik at

(1) A = PBP[sup]-1[/sup]

Videre i boka sier de at likedannete matriser har mange felle egenskaper.
De finner karakteristiske polynomet p med egenverdi h vha:

(2) p[sub]A[/sub](h)=|A-hI|

og der A=[a[sub]ij[/sub]]. Skriver vi:

(3) p[sub]A[/sub](h)=(-1)[sup]n[/sup]h[sup]n[/sup]+C[sub]1[/sub]h[sup]n-1[/sup]+...+C[sub]n-1[/sub]h+C[sub]n[/sub]

må:

(4) p[sub]A[/sub](0)=C[sub]n[/sub]=|A|

og:

(5) C[sub]1[/sub]=(-1)[sup]n-1[/sup](a[sub]11[/sub]+a[sub]22[/sub]+a[sub]33[/sub])

hvor størrelsen:

(6) tr(A)=a[sub]11[/sub]+a[sub]22[/sub]+...+a[sub]nn[/sub]

kalles trasen eller sporet til nxn-matrisen A.



Det jeg ikke forstår er likningen (5). Bruker de (3) og (4) for å komme til (5)?

Mvh,
Mattevrak

[Bernoulli]

Jeg synes nr (5) virker mistenkelig. Jeg har aldri sett den før. Men hvis du vrir litt på det: La A være en nxn matrise. Da finnes det en unitær U og en øvretriangulær B, slik at
A = UBU[sup]-1[/sup]
Disse to har samme egenverdier!

Dersom du lar A = [a[sub]ij[/sub]] og B = [b[sub]ij[/sub]], så er egenverdiene til A og B gitt ved løsningen av
(b[sub]11[/sub] - h)(b[sub]22[/sub] - h)...(b[sub]nn[/sub] - h) = 0

Jeg vet ikke hvordan det generelt er, men når jeg regnet ut koeffisienten C[sub]1[/sub] i (5) for en 4x4 matrise, så fikk jeg

C[sub]1[/sub] = (-1)[sup]4-1[/sup]h[sup]4-1[/sup]*tr(B)

der tr(B) er trasen til B. Du får selv finne ut av om denne er generell.

[mathvrak]

Betyr Unitær det samme som invertibel? Likningen din for C[sub]1[/sub] ser ganske lik ut, men lurer på om h skulle vært utelatt?

Siden A og B er similære (A=UBU[sup]-1[/sup]) har de som du sier felles egenverdier fordi:

A = UBU[sup]-1[/sup]:
A - hI = UBU[sup]-1[/sup] - hI = U (B - hI) U[sup]-1[/sup]

(*) p[sub]A[/sub] = |A - hI| = |U| |B - hI| |U[sup]-1[/sup]| = p[sub]B[/sub]

Setter en h=0 i (*) får en | A | = | B | .
Siden egenverdiene er røttene til p[sub]A[/sub] i (*), må jo de samme egenverdiene være i p[sub]B[/sub].

tr(A) = tr(B) kan bevises ved å bruke (3) og (5) står det i boka. Og siden du har valgt B som øvretriangulær, må determinanten være tr(B) ? B trenger visstnok ikke være øvretriangulær for å få C[sub]1[/sub], men jeg er enig at din vri kan være greit for å forenkle regningen litt. Da vet jeg ikke om man finner spesial tilfelle eller generell løsning. Anyway jeg har ikke så peiling på n-te grads polynomer at jeg kan se (5).

[Bernoulli]

Man kaller en kompleks matrise unitær på samme måte som man kaller en reell matrise ortogonal.

Du har forøverig helt rett at h ikke skal være med i ligningen (trodde jeg hadde fikset det).

Determinanten til B er ikke tr(B), men produktet av diagonalelementene til B. De punktene du ramser opp er forsåvidt åpenbare, unntatt nr (5) (er det meningen du skal skrive tr(A) istedet for summen av de tre første diagonalelementene?). Dersom de i boken ikke tar med beviset for dette, så er det sikkert fordi det ikke er så enkelt.

At tr(A) = tr(B) for similære A og B er ukjent for meg, men det følger av (5) dersom du setter tr(A) istedet for (a[sub]11[/sub]+a[sub]22[/sub]+a[sub]33[/sub]), og har B som jeg nevnte. Det er fordi de karakteristiske polynomene er like.

[mathvrak]

Jeg kjenner ikke til komplekse matriser, men ortogonale matriser er kjent for meg.

Når det gjelder Determinanten til Øvretriangulær har du rett, jeg mente egentlig produkt av elementene på hoveddiagonalen til B.

Når det gjelder tr(A)=tr(B) Var dette litt interessant da jeg igår tittet over endel oppgaver om diagonalisering. Hvis man har funnet diagonal egenverdi matrisen D til A og egenvektor matrisen P og regner ut A=PDP[sup]-1[/sup], la jeg merke til at tr(A)=tr(D). hvor tr(D) da blir summen av egenvektorene. Dette var oppgaver med 2x2 og 3x3 matriser.

Takk for hjelpen. Ja ser nå at jeg har skrevet (5) feil, der skulle vært tr(A)

(5) C[sub]1[/sub]=(-1)[sup]n-1[/sup] ( a[sub]11[/sub] + a[sub]22[/sub] + ... + a[sub]nn[/sub] )