Differenslinkning med komplekse røtter

[kjey]

Løser et midtveiseksamensett hvor det er ren avkrysning, og sliter litt med denne oppgaven:

Oppgave:
Finn den spesielle løsningen til

[tex]2x_{n+2} +2x_{n+1} + x_{n} = 0[/tex] hvor vi vet at [tex] x_0 = 1, x_1 = 0[/tex].

Løsning (uferdig):
Løser den karakteristiske likningen

[tex]2r^2 + 2r + 1 = 0 \Rightarrow r = -\frac{1}{2} + i\frac{1}{2} \vee r = -\frac{1}{2} + i\frac{1}{2}[/tex].

Av dette får den generelle løsningen

[tex]x_n = C(-\frac{1}{2} + i\frac{1}{2})^n + D(-\frac{1}{2} - i\frac{1}{2})^n[/tex].

I fasiten skal

[tex]x_n = 2^{-\frac{n}{2}}(\cos{\frac{3n\pi}{4}} + \sin{\frac{3n\pi}{4}})[/tex]

være riktig, altså regner jeg med at den generelle løsningen må skrives på formen

[tex]x_n = C\rho^n\cos{n\theta} + D\rho^n\sin{n\theta}[/tex].

Får da at modulusen

[tex]\rho = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

og

[tex]\sin{\theta} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = \pi/4[/tex].

Altså er

[tex]x_n = C\(\frac{1}{\sqrt{2}})^n\cos{\frac{n\pi}{4}} + D(\frac{1}{\sqrt{2}})^n\sin{\frac{n\pi}{4}}[/tex].

Poenget nå er at jeg får helt feil resultater når jeg regner løser ligningene for [tex]x_0[/tex] og [tex]x_1[/tex]. Klarer å få at

[tex]C = 0, D = 1 \Rightarrow x_n = (\frac{1}{\sqrt{2}})^n\sin{\frac{n\pi}{4}}[/tex],

og det er tydeligvis feil. Noen som ser hva jeg har gjort galt, eller kan hjelpe meg med de siste utregningene?

[FredrikM]

L

[tex]2r^2 + 2r + 1 = 0 \Rightarrow r = -\frac{1}{2} + i\frac{1}{2} \vee r = -\frac{1}{2} + i\frac{1}{2}[/tex].

Dette er feil.

[tex]2r^2+2r+1=0 \\ r^2+r+\frac12=0 \\ r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-2}}{2} \Rightarrow r = -\frac12 \pm i\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]