Taylor-ekspansjon

[FredrikM]

Hei!

Driver nå og tar igjen noe forsømt regning i MATINF1100, og i utledningen av flere feilestimater, gjør man bare en Taylor-ekspansjon, og vips, så har man noe å arbeide med. Det jeg ikke helt fatter ennå, er når man har lov til å gjøre dette.

Her er et eksempel:

"To analyse the error in the approximation above, we do a Taylor expansion of f(a+h). We have:
[tex]f(a+h)=f(a)+hf^,(a)+\frac{h^2}{2}f^{,,}(\xi_h)[/tex]
where [tex]\xi_h[/tex] lies in the interval [a,a+h]...."

Og "the approximation above" som det refereres til er altså
[tex]f^,(a) \approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]

Det jeg lurer på, er altså hvordan man kan ta en slik "Taylor expansion", og delvis hvordan man gjør det. Er det mulig vi skal gjenkjenne f(a+h)=... som begynnelsen på en Taylor-rekke?

Takker for (nesten) alle svar.

[arildno]

Vel, du kan gjøre det slik:
[tex]f(a+h)-f(a)=\int_{a}^{a+h}f^{,}(t)dt[/tex]
Vi gjør nå følgende ursleipe, men lovlige, manøvre:
[tex]\int_{a}^{a+h}f^{,}(t)dt=(t-(a+h))f^{,}(t)|^{t=a+h}_{t=a}-\int_{a}^{a+h}(t-(a+h))f^{,,}(t)dt=hf^{,}(a)-f^{,,}(\xi)\int_{a}^{a+h}(t-(a+h))dt=hf^{,}(a)+f^{,,}(\xi)\frac{h^{2}}{2}, a\leq\xi\leq{a+h}[/tex]

[FredrikM]

Hm. Usikker på om jeg forstår stegene dine. Kan du forklare litt mer nøye?


Men takker for svar.

[arildno]

Hva er første steg du ikke forstår?

[FredrikM]

[tex]\int_{a}^{a+h}f^{,}(t)dt=(t-(a+h))f^{,}(t)|^{t=a+h}_{t=a}-\int_{a}^{a+h}(t-(a+h))f^{,,}(t)dt=hf^{,}(a)-f^{,,}(\xi)\int_{a}^{a+h}(t-(a+h))dt=hf^{,}(a)+f^{,,}(\xi)\frac{h^{2}}{2}, a\leq\xi\leq{a+h}[/tex]
Stort sett hele denne.

[arildno]

Ok, vi skal bruke delvis integrasjon på:
[tex][tex][/tex]\int_{a}^{a+h}f^{,}(t)dt=\int_{a}^{a+h}1*f^{,}(t)dt

En anti-derivert av 1 med hensyn på t, er t+C, hvor C er konstant som ikke avhenger av "t".
For lurhetens skyld setter vi C=a+h.

Forstår du at vi kan gjøre det?

[arildno]

Ok, vi skal bruke delvis integrasjon på:
[tex]\int_{a}^{a+h}f^{,}(t)dt=\int_{a}^{a+h}1*f^{,}(t)dt[/tex]

En anti-derivert av 1 med hensyn på t, er t+C, hvor C er konstant som ikke avhenger av "t".
For lurhetens skyld setter vi C=a+h.

Forstår du at vi kan gjøre det?