Finne et generelt uttrykk for øvre/nedre trappesum
Lagt inn: 17/10-2008 20:35
OPPGAVE:
La [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] være gitt ved [tex]f(x)=x.[/tex] For hver [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la [tex]\Pi_n[/tex] være partisjonen [tex]\left \{0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1} \right[/tex]. Finn uttrykk for de øvre og nedre trappesummene [tex]\phi(\Pi_n)[/tex] og [tex]N(\Pi_n)[/tex].
--------
Jeg starter med å prøve å finne et uttrykk for den øvre trappesummen. Vet at øvre trappesum er gitt ved
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Det jeg tenkte (for å forenkle uttrykket) er at [tex]M_i[/tex] alltid må være [tex]x_i[/tex] siden det er den som gjør at [tex]f[/tex] får størst verdi i alle tilfellene. Derfor kan jeg skrive at
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Men dette igjen kan jo skrives som
[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}[/tex].
Så langt så greit. Men hvordan jeg skal bruke det jeg har kommet fra til er litt værre. Er det noen som har et hint i hvordan jeg kan gjøre om summen til en generell formel?
La [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] være gitt ved [tex]f(x)=x.[/tex] For hver [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la [tex]\Pi_n[/tex] være partisjonen [tex]\left \{0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1} \right[/tex]. Finn uttrykk for de øvre og nedre trappesummene [tex]\phi(\Pi_n)[/tex] og [tex]N(\Pi_n)[/tex].
--------
Jeg starter med å prøve å finne et uttrykk for den øvre trappesummen. Vet at øvre trappesum er gitt ved
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Det jeg tenkte (for å forenkle uttrykket) er at [tex]M_i[/tex] alltid må være [tex]x_i[/tex] siden det er den som gjør at [tex]f[/tex] får størst verdi i alle tilfellene. Derfor kan jeg skrive at
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Men dette igjen kan jo skrives som
[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}[/tex].
Så langt så greit. Men hvordan jeg skal bruke det jeg har kommet fra til er litt værre. Er det noen som har et hint i hvordan jeg kan gjøre om summen til en generell formel?