Heisann.
Jeg driver med trapesmetoden, men takket være en heller kjapp forklaring av denne i lærerboka mi sliter jeg litt med å forstå en bit av den. Når man skal bruke den til å finne integralet numerisk begynner man med (f(a)-f(b))/2, men dette finner jo gjennomsnittet av endene av intervallet, hvilken funksjon har dette? Det at man deler opp intervallet i n deler, finner integralet av dette trapeset, og summerer det sammen har jeg ingen problemer med å skjønne, men kanskje noen kunne kort gjennomgå/forklare tankegangen som ligger bak denne metoden?
Trapesmetoden
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ok.
La oss dele intervallet [a,b] opp i n deler. Hver del har da en bredde på [tex]h=\frac{b-a}{n}[/tex]. La oss kalle intervallgrensene for [tex]x_i[/tex]. Bredden er da [tex[x_i-x_{i-1}[/tex] for en hvilken som helst i.
Skal vi regne arealet av rommet mellom [tex]x_i[/tex] og [tex]x_{i-1}[/tex], bruker vi formelen for arealet av et trapes:
[tex]A = \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\cdot h[/tex]
Arealet under grafen er tilnærmet gitt ved: (vi kaller den siste inndelingens øvre grense for [tex]x_b[/tex]
[tex]\int_a^b \approx \sum_{i=0}^{b}\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2} h = \frac{h}{2}\sum_{i=0}^{b}[f(x_{i-1})+f(x_i)]=[/tex]
Men ser vi nærmere på denne ser vi at vi summerer alle verdiene to ganger, bortsett fra f(a) og f(b). ([tex]x_0=a[/tex]). Vi skjønner at vi kan fortkorte til:
[tex]\frac{h}{2}(f(a)+f(b)+2\sum_{i=0}^{b}f(x_i))[/tex]
Som er fomelen du lurte på?
La oss dele intervallet [a,b] opp i n deler. Hver del har da en bredde på [tex]h=\frac{b-a}{n}[/tex]. La oss kalle intervallgrensene for [tex]x_i[/tex]. Bredden er da [tex[x_i-x_{i-1}[/tex] for en hvilken som helst i.
Skal vi regne arealet av rommet mellom [tex]x_i[/tex] og [tex]x_{i-1}[/tex], bruker vi formelen for arealet av et trapes:
[tex]A = \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\cdot h[/tex]
Arealet under grafen er tilnærmet gitt ved: (vi kaller den siste inndelingens øvre grense for [tex]x_b[/tex]
[tex]\int_a^b \approx \sum_{i=0}^{b}\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2} h = \frac{h}{2}\sum_{i=0}^{b}[f(x_{i-1})+f(x_i)]=[/tex]
Men ser vi nærmere på denne ser vi at vi summerer alle verdiene to ganger, bortsett fra f(a) og f(b). ([tex]x_0=a[/tex]). Vi skjønner at vi kan fortkorte til:
[tex]\frac{h}{2}(f(a)+f(b)+2\sum_{i=0}^{b}f(x_i))[/tex]
Som er fomelen du lurte på?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ja, selvfølgelig.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)