matematikk.net

Lurer litt på hvordan man virkelig kan finne integralet til den deriverte av en invers trigonometrisk funksjon; la oss si feks. [symbol:integral]1/ [symbol:rot]1-x^2
Med regning...

Og har en oppgave som jeg lurer på..:


[symbol:integral]1/ [symbol:rot] 1+x^2
Jeg har at arctan derivert er 1/1+x^2, og ser jo en viss sammenheng med dette utrykket, men får det ikke til å funke med substitusjon... Har ikke sett nok på det, men hvis noen kan gi meg en hjelpende hånd hadde det vært fint:)

på forhånd tak

svaret er x(t) = tan(t+C) mener jeg å huske...

mingrid skrev:Lurer litt på hvordan man virkelig kan finne integralet til den deriverte av en invers trigonometrisk funksjon; la oss si feks. [symbol:integral]1/ [symbol:rot]1-x^2
Med regning...

hvis y = arcsin(x) <=> x = sin(y)
deriverer så begge sider:
1 = cos(y)* y'
slik at:

[tex]y^,=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
integrer så begge sider opp:

[tex]\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin(x)\,+\,C [/tex]

[symbol:integral]1/ [symbol:rot] 1+x^2
Jeg har at arctan derivert er 1/1+x^2, og ser jo en viss sammenheng med dette utrykket, men får det ikke til å funke med substitusjon... Har ikke sett nok på det, men hvis noen kan gi meg en hjelpende hånd hadde det vært fint:)

på forhånd tak

[tex]\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\text arcsinh(x) \,+\, C[/tex]