matematikk.net

Jeg sliter litt med kongruensregning på universitetet. Jeg forstår hva en kongruens er.

En oppgave er for eksempel:
34 x ≡ 60 (mod 98)
Jeg forstår at jeg kan forkorte med 2 over alt, så da gjør jeg det.
Får da
17 X ≡ 30 (mod 49)
Så sjekker jeg om den har en løsning, og det har den fordi (17,49) = 1 og 1 går opp i 30.

Men så skjønner jeg ikke hvordan jeg kan løse den og finne ut hva X er. Hva skal jeg gjøre her??

---------------------------------------------
En annen oppgave jeg har så ser jeg at jeg sliter med samme punktet:
8x ≡ 1 (mod 11)

Jeg kan gjette meg fram og ser at det blir 7. Men hvordan gjør jeg det sånn regnemessig sett...?

--------------------------------------------

22x ≡ 1 (mod 29) -- samme greia.. stopper her å... Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal finne x. Forstår ikke hva jeg kan gjøre.. Noen som kan hjelpe meg med å forklare hva som er lov og ikke lov, og kanskje noe som kan hjelpe meg på vei til å forstå dette?

camiln06 skrev:Jeg sliter litt med kongruensregning på universitetet. Jeg forstår hva en kongruens er.
En oppgave er for eksempel:
34 x ≡ 60 (mod 98)
Jeg forstår at jeg kan forkorte med 2 over alt, så da gjør jeg det.
Får da
17 X ≡ 30 (mod 49)
Så sjekker jeg om den har en løsning, og det har den fordi (17,49) = 1 og 1 går opp i 30.
Men så skjønner jeg ikke hvordan jeg kan løse den og finne ut hva X er. Hva skal jeg gjøre her??

kan du ikke bare skrive:

[tex]17x \equiv 30 \,(mod \, 49)[/tex]

[tex]17x \equiv 765 \,(mod \,49)[/tex]

[tex]x \equiv 45 \,(mod\, 49)[/tex]

Jo, det kan jeg sikkert. Men problemet mitt er jo at jeg ikke forstår hvordan du da klarer å regne ut at x ≡ 45 (mod 49)

Det er jo det steget der jeg ikke forstår..Jeg forstår ikke hvordan du bare ser da at det er svaret. Hvordan tenker du for å komme dit? forstår du hva jeg mener?

camiln06 skrev:Jo, det kan jeg sikkert. Men problemet mitt er jo at jeg ikke forstår hvordan du da klarer å regne ut at x ≡ 45 (mod 49)
Det er jo det steget der jeg ikke forstår..Jeg forstår ikke hvordan du bare ser da at det er svaret. Hvordan tenker du for å komme dit? forstår du hva jeg mener?

Tja, jeg er ikke helt inn i kongruensregning sjøl, men jeg prøvde meg fram.
Du kan jo konvertere kongruenslikninga til vanlig likning, dvs 17x = 30 + 49y. Deretter mate dette inn på kalkis (table function) på casio, og finne heltallige løsninger på x og y. osv..

Ja, jeg vet at jeg også kan gjøre det slik. Men jeg vet at det ikke er sånn man pleier å løse disse kongruensene.. Kan noen andre svare?

Tusen takk for at du prøvde forresten, men trenger å forstå dette..

Mange muligheter. Du kan multiplisere med inversen til 17 på begge sider, Eulers totientfunksjon hjelper deg her, om du trenger den. Eller du kan gjøre akkurat slik Janhaa gjorde - legg til 49 helt til du kan dele på 17 på begge sider. Det finnes ikke noen måte man "pleier" å gjøre disse på - velg det som er enklest。 Vær fleksibel. Bare pass på at du får med deg alle løsningene.

ja... Inversen til 17???. Men hva med 899 x [symbol:identisk] 1 (mod 11). Det blir jo veldig tungvint å legge til 11 helt til jeg kan dele på 899...

Finn 899 (mod 11) først. Det forenkler problemet betydelig.

Ja. Da får jeg 8x [symbol:identisk] 1 (mod 11)

Men så får jeg det dumme problemet mitt igjen. Jeg skjønner ikke hva jeg skal gjøre her. Hva er inversen til 8?. Hvis jeg tar og ganger med inversen på hver side..? eller?

8x = (-3)x = 1 (mod 11). Vi ser at (-4)(-3) = 1 (mod 11). Svar funnet.
Ellers kan du gå løs med pressluftbor: [tex]\phi(11) = 10[/tex], og svaret følger ved å multiplisere med [tex]8^{\phi(11)-1}[/tex] (-hvorfor?)

Inversen til 8 er tallet x slik at 8x = 1. Når dette tallet eksisterer, kan du finne det på ulike vis. Hvis du trenger en "oppskrift," les om Eulers totientfunksjon. Fermats lille teorem er et spesialtilfelle av dette.

camiln06 skrev:Ja. Da får jeg 8x [symbol:identisk] 1 (mod 11)
Men så får jeg det dumme problemet mitt igjen. Jeg skjønner ikke hva jeg skal gjøre her. Hva er inversen til 8?. Hvis jeg tar og ganger med inversen på hver side..? eller?

eller:
[tex]8x \equiv \text 1 (mod\,11)[/tex]

[tex]8x \equiv \text 1+11\cdot 5 (mod\,11)\equiv \text 56 (mod 11)[/tex]

[tex]x \equiv \text 7 (mod\,11)[/tex]

er vel lov dette?

Jepp. (Man må bare passe på i de tilfeller divisor ikke er koprim med m når vi regner mod m.)