Lengde av parametrisk kurve m.m.
Lagt inn: 06/11-2008 04:16
Jobber altså med oppgaver om kurver gitt på parametrisk form.
1) Jeg skal finne lengden av en kurve gitt på formen
[tex]x = t - \frac{1}{3} t^3 \\ y = 4.5 - t^2[/tex]
for t = [0,3]
jeg slår opp og finner formelen
[tex]L = \int_{\alpha}^{\beta}{sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}} dt[/tex]
jeg begynner følgelig å derivere x og y
[tex]\frac{dx}{dt} = 1 - t^2 \\ \frac{dy}{dt} = - 2t[/tex]
setter inn i formelen for L, løser ut paranteser og får
[tex]L = \int_{0}^{3}{sqrt{t^4 + 2t^2 + 1}} dt[/tex]
herfra blir det bare rot og jeg er ganske langt unna fasitsvaret, så...
- er jeg på rett vei?
- hvis ja, hva gjør jeg videre? Substitusjon? Fullføre kvadrat? faktorisere? Har det noen hensikt å bytte ut rottegnet med å opphøye uttrykket i 0.5? Hint, føringer, løsninger søkes...
Videre skal jeg finne koordinatene til det punktet på kurven som er nærmest origo. Er rimelig på bærtur her, men har to forslag:
- finne en vektor som står vinkelrett på kurven og går gjennom origo - i så fall, hvordan?
- avstand fra origo til ett fritt valgt punkt (på linjen, eller ellers i planet) er [tex]sqrt{x^2 + y^2}[/tex]. Skal jeg bruke dette, sette inn formler for x og y av t, og så begynne å derivere og finne ut når den deriverte er lik 0 (minimumsverdi)?
ps! Samme oppgave er tatt opp i en eldre tråd, men der kom det ikke noe svar som hjelper i mitt tilfelle...
1) Jeg skal finne lengden av en kurve gitt på formen
[tex]x = t - \frac{1}{3} t^3 \\ y = 4.5 - t^2[/tex]
for t = [0,3]
jeg slår opp og finner formelen
[tex]L = \int_{\alpha}^{\beta}{sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}} dt[/tex]
jeg begynner følgelig å derivere x og y
[tex]\frac{dx}{dt} = 1 - t^2 \\ \frac{dy}{dt} = - 2t[/tex]
setter inn i formelen for L, løser ut paranteser og får
[tex]L = \int_{0}^{3}{sqrt{t^4 + 2t^2 + 1}} dt[/tex]
herfra blir det bare rot og jeg er ganske langt unna fasitsvaret, så...
- er jeg på rett vei?
- hvis ja, hva gjør jeg videre? Substitusjon? Fullføre kvadrat? faktorisere? Har det noen hensikt å bytte ut rottegnet med å opphøye uttrykket i 0.5? Hint, føringer, løsninger søkes...
Videre skal jeg finne koordinatene til det punktet på kurven som er nærmest origo. Er rimelig på bærtur her, men har to forslag:
- finne en vektor som står vinkelrett på kurven og går gjennom origo - i så fall, hvordan?
- avstand fra origo til ett fritt valgt punkt (på linjen, eller ellers i planet) er [tex]sqrt{x^2 + y^2}[/tex]. Skal jeg bruke dette, sette inn formler for x og y av t, og så begynne å derivere og finne ut når den deriverte er lik 0 (minimumsverdi)?
ps! Samme oppgave er tatt opp i en eldre tråd, men der kom det ikke noe svar som hjelper i mitt tilfelle...