matematikk.net

Dette temaet er veldig vanskelig etter min mening. Å løse en differensialligning pleier å gå greit, men å skjønne hvordan man kommer fram til selve ligningen, og hvordan man tolker den er noe helt annet

Jeg trenger ihvertfall litt hjelp med noen par oppgaver. Da mener jeg ikke å få et svar på hvordan jeg løser dem (med én gang ), men trenger hjelp med å forstå ligningene slik at det kan bli lettere å løse oppgavene. I første omgang lurer jeg litt på denne oppgaven:

En modell for folketallet, p, i N ew York gir differensialligningen

[tex]\frac{dp}{dt}=0.56p-4.0*10^{-8}p^{2}-16*10^{5}[/tex].

1/1-1960 var folketallet [tex]6.0*10^{6}[/tex].

Finn fra denne modellen folketallet i N ew York som funksjon av antall år etter 1/1-1960.

Slik jeg har skjønt er [tex]p(t)[/tex] en funksjon som gir størrelsen på befolkningen, [tex]p(0)=6.0*10^{6}[/tex] og [tex]\frac{dp}{dt}=D[p(t)][/tex] er befolkningsvekst i den gitte tiden t. Hvis jeg har skjønt modellen skal jeg vel bare løse differensialligningen?

Hvis jeg skal løse differensialligningen er det også et problem. Ett av leddene er av typen [tex]p^2[/tex]. Prøvde å sortere ligningen slik at jeg får den på en separabel form, men det gikk ikke så bra. Noen kloke ord?

Legg merke til at siden du har en annengradsfunksjon, kan den faktoriseres på formen [tex]a(p-r_1)(p-r_2)[/tex] hvor r1 og r2 er de to løsningene av annengradsligningen.

Deler du så med [tex](p-r_1)(p-r_2)[/tex] får du:

[tex]\frac{p^,}{(p-r_1)(p-r_2)}=a[/tex]

Nå kan du ta en delbrøkoppspalting på venstre side. Når det er gjort, integrerer du begge sider med hensyn på t (dette kan du gjøre, siden du har [tex]p^,[/tex] over brøkene). Så er det bare å ordne opp i ligningen, og sette inn initialbetingelsen.