matematikk.net

hei, trenger hjelp med oppgave c og d, skjønner ikke helt hva jeg skal finne:(


Oppgave 2
En familie av funksjoner er gitt ved
x2 − 2x + ky2 − 4ky + 3k + 1 = 0 , (1)
hvor k er en positiv konstant.

a) Formelen for en elipse er gitt ved
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1 ,
der a og b er positive konstanter.
Vis at familien av funksjoner i ligning (1) beskriver en ellipse med x0 = 1,
y0 = 2, a =
√
k og b = 1.

b) Vis, ved implisitt derivasjon av ligning (1), at den deriverte dy
dx er gitt
ved
dy
dx
=
1 − x
k(y − 2) .

c) For hvilke verdier av x har familien av funksjoner fra ligning (1) horisontale
tangentlinjer?

d) Vis at familien av funksjoner har vertikal tangentlinje i x = 1+
√
k og i
x = 1−
√
k. (Hint: Sett den deriverte lik 1/e og bruk grenseverdier.)


TAKK

Heisann! Nå har ikke jeg regnet på oppgaven, men hva vil det si at en funksjon har en horisontal tangentlinje? Først bør du finne ut om det er y som er funksjon av x eller omvendt, så bør du derivere implisitt. Hvilken verdi må den deriverte ha dersom funksjonen har en horisintal tangentlinje?

Hint til d)

Vertikal tangentlinje i x_0 når

[tex] \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{dy}{dx} = \infty [/tex]

zeta skrev:Heisann! Nå har ikke jeg regnet på oppgaven, men hva vil det si at en funksjon har en horisontal tangentlinje? Først bør du finne ut om det er y som er funksjon av x eller omvendt, så bør du derivere implisitt. Hvilken verdi må den deriverte ha dersom funksjonen har en horisintal tangentlinje?

Hint til d)

Vertikal tangentlinje i x_0 når

[tex] \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{dy}{dx} = \infty [/tex]

må den deriverte være lik null for at funksjonen skal ha en horisontalt linje?
står helt fast her:(

Hei igjen!

Hva er så en tangentlinje?

Jo det er en linje som tangerer funksjonen i et gitt punkt slik at tangentlinjen har samme stigningstall som grafen til funksjonen i punktet.

Hva er stigningstallet til en horisontal linje, altså en linje som går "rett bortover"? Det må være null (grafen går null enheter "oppover" når den går en enhet "bortover").

Det vil si at dersom en horisontal linje tangerer grafen til en funksjon i et punkt, _må_ stigningstallet (den deriverte) til funksjonen være null, siden stigningstallet til tangenten er null

Digresjon:
Det å sette den deriverte lik null er et godt steg på veien til å finne ekstremalpunkter på en graf. I tillegg til slike punkter (kritiske punkter) kan ekstremalverdier kun finnes i endepunkter eller singulære punkter (den deriverte eksisterer ikke).