matematikk.net

(x+1)[sup]2[/sup]y''-(x+1)y'+y=0

Finn den generelle løsningen. Hint: Innfør en ny ukjent u(x) gitt ved y=(x+1)u.

Hvordan bruker jeg dette hintet? Skal jeg med den substitusjonen få koeffisientene til å bli konstanter?

Har du prøvd å sette det inn da? Du vil se det forenkler uttrykket til en du lett kan løse.

Jeg prøvde å sette inn. Da fikk jeg en ligning på formen
a(x)u'+b(x)u''=0
substituerte så med
v=u' og v'=u''
og fikk en ligning på formen
a(x)v+b(x)v'=0
Multipliserte inn og fikk formen
a(x,v)+b(x)v'=0
Fant at denne ikke var eksakt da a[sub]v[/sub](x,v)=3b[sub]x[/sub](x) og fant en integrerende faktor. Prøvde å løse på vanlig måte, men stoppet opp da jeg skulle bestemme "integrasjonskonstanten/funksjonen" ettersom jeg fikk ulike funksjoner da jeg deriverte.

Høres fremgangsmåten min riktig ut hittil? Eller skal jeg ikke få en eksakt ligning?

Du fikk denne: (x+1)v' + v = 0
med v = u' ? I såfall er du på rett vei, men jeg skjønner ikke helt hva du gjør etter dette. Du vet vel sikkert hvordan man løser ligninger på formen
y' +p(x)y = r(x)
Gang hver side med exp([itgl][/itgl]p(x)dx), og "se" at produktregelen er brukt på venstre side.

Hvis du vil kan du gjøre om ligningen over til "standardformen" og gange med faktoren over, med du får bare ligningen som står på første linje. Det du ser da er at
(x+1)v' + v = [(x+1)v]' = 0
Integrer på begge sider og du får v = u' = a/(x+1). Integrer igjen og du får
u(x) = a*ln(x+1) + b
der a og b er konstanter.
Og nå bruker du y = (x+1)u

Det stopper helt opp her.

(x+1)[sup]2[/sup]y'' - (x+1)y' + y = 0
y=(x+1)u
y'=(x+1)u'+u
y''=(x+1)u''+2u'
Setter inn:
(x+1)[sup]2[/sup][(x+1)u''+2u'] - (x+1)[(x+1)u'+u] + (x+1)u = 0
(x+1)[sup]3[/sup]u'' + 2(x+1)[sup]2[/sup]u' - (x+1)[sup]2[/sup]u' - (x+1)u + (x+1)u = 0
(x+1)[sup]3[/sup]u'' + (x+1)[sup]2[/sup]u' = 0

Så må jeg vel få dette over til en ligning av første orden ved å sette v=u'? Men her stopper det fullstendig. Jeg forstår ikke hvordan jeg får dette til å bli
(x+1)v' + v = 0
Resten skal jeg nok få til.
Setter stor pris på hjelp her.

Du er jo på god vei. Sett v = u' som du selv sier, og dersom du kan anta x ikke er lik -1, så deler du begge sider av ligningen med (x+1)[sup]2[/sup]. Og da har du ligningen din

Selvfølgelig!

Tusen takk!