matematikk.net

Er likevektspunkt det samme som kritiske punkt?

La x(t)>=0 og y>=0 stå for storleikene av to populasjonar ved tidspunktet t. Endringane er styrt av differensiallikningane
dx/dt=x(1-x)-yx
dy/dt=-a[sup]2[/sup]y+yx[sup]2[/sup]
der a>0

a) Diskuter først tilfella x>=0, y=0 og y>=0, x=0 der berre den eine av populasjonane er til stades.
b) Finn deretter dei relevante likevektspunkta til systemet.
c) Gjer greie for stabiliteten og type av likevektspunkt. For kva verde av a vil begge populasjonane kunne overleve? Ein kan i drøftinga sjå bort frå tilfellet a=1.

I a) er det vel bare å sette henholdsvis y og x lik 0 og løse disse differensialligningene og redegjøre for hvordan de oppfører seg over tid?
Er likevektspunkt det samme som kritiske punkt? I b) skal jeg oppgi noen av likevektspunktene uttrykt ved a?
I c) er det vel bare å finne egenverdiene og se på systemets stabilitet ut fra det?

I hvilken sammenheng har du fått denne oppgaven her?

a)
Her forklarer du selv hva du kan gjøre, men det er strengt tatt ikke nødvendig å løse diff.ligninga. Det holder vel å bare se på fortegnet til de deriverte: når er de positive eller negative (dvs når vokser eller synker populasjonen)

b)
Et likevektspunkt er en tilstand der systemet ikke endrer seg over tid, dvs de deriverte er lik null.

c)
Det finnes flere måter å gjøre dette på, og jeg vet ikke hva du har lært. Men hvis du vet hvordan man lineariserer systemet, så kan du finne ut hva slags type likevektspunkt du har ved å se på egenverdiene til den assosierte matrisen. Dette må du gjøre for hvert likevektspunkt.

Dette er ein del av ei obligatorisk oppgåve i faget MAT131 ved UiB.

Jepp, obligatorisk oppgave i MAT131. Har ikke kunnet vært i Bergen pga. sykdom/allergi og håper på hjelp her på forumet i stedet for på gruppeøvelser og kontakttimer.

Jeg fikk 3 likevektspunkt: {(0,0) , (1,0) , (a,1-a)}. (-a,1+a) trengs vel ikke tas hensyn til ettersom a>0 og x>=0.
Lineæriserte systemet og fikk matrisen
A=[b c], b=[1-2x-y , 2yx] og c=[-x , x[sup]2[/sup]].
De to første punktene er greie. Men på det siste lurer jeg på om jeg har gjort feil. Jeg setter x- og y-verdiene inn i matrisen og ser på ligningen jeg får av determinanten til (A-rI). Jeg får determinanten til å bli
(-a-r)(a[sup]2[/sup]-r)-(2a-2a[sup]2[/sup])(-a)=r[sup]2[/sup]+(a-a[sup]2[/sup])r+a[sup]2[/sup](-3a+2).
Får da at egenverdiene skal være gitt ved
r=(1/2)(-a+a[sup]2[/sup]+-[rot][/rot](a[sup]4[/sup]+10a[sup]3[/sup]-7a[sup]2[/sup]).
Hvis jeg setter radikanden lik 0 får jeg a=4[rot][/rot](2)-5.
Ved å se på egenverdiene ved a større, lik og mindre enn den verdien finner jeg at begge artene kan overleve for a<=4[rot][/rot](2)-5.
Men jeg har liksom en ubehagelig følelse av at a-verdien er feil.

Det ser ut som vektoren c er litt feil. Bytt ut x[sup]2[/sup] med x[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup], så skal det gå greit.

Jeg må være svært hardt rammet av Murphys lov for tiden. Det blir bare rot samme hva jeg gjør.

Igjen er det punktet (a,1-a)
Igjen er A matrise med de to vektorene
b=[-a,2a-2a[sup]2[/sup]] og c=[-a,0]
Får nå det(A-rI)=(-a-r)(-r) - (2a-2a[sup]2[/sup])(-a) = r[sup]2[/sup]+ar+(2a[sup]2[/sup]-2a[sup]3[/sup])=0
r=(1/2)(-a+-[rot][/rot](8a[sup]3[/sup]-7a[sup]2[/sup]))
Får av dette at for a=7/8 er r=-7/16, altså et asymptotisk stabilt punkt.
For 7/8<a<1 blir rotuttrykket positivt, men mindre enn 1. Da blir punktet også asymptotisk stabilt for disse verdiene av a.
For 0<a<7/8 blir rotuttrykket imaginært. Ettersom realdelen er negativ blir punktet asymptotisk stabilt for også disse verdiene av a.
For at alle punktene skal ligge i definisjonsområdet må 0<a<1. Konklusjonen blir at begge populasjonene overlever for alle a , 0<a<1. Dette MÅ vel være feil?

Det er riktig (etter hva jeg kan se). Det er interresant å legge merke til at dersom a > 1, så blir likevektspunktet ustabilit.