Kom over følgende oppgave:
Definisjonen av konvergens:Anta at {[tex]a_n[/tex]} og {[tex]b_n[/tex]} er to følger som begge konvergerer
mot et tall [tex]L \in \mathbb{R}[/tex]. Anta at {[tex]c_n[/tex]} er en tredje følge slik at [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex] for alle
n. Bruk definisjonen av konvergens (4.3.1 i Kalkulus) til å vise at [tex]\lim_{n\to\infty}c_n=L[/tex]
(Dette kalles ofte skviseloven).
Jeg tenker slik:Følgen {[tex]a_n[/tex]} konvergerer mot et tall a dersom det for ethvert tall [tex]\eps > 0[/tex], finnes et tall [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] slik at [tex]|a_n-a|\lt \eps \, \, \forall \, n\geq N[/tex].
Siden [tex]a_n \to L[/tex], fins det et tall [tex]N_1[/tex] slik at [tex]|a_n-L| \lt \eps \, \forall n \geq N_1[/tex]. Tilsvarende fins det fordi [tex]b_n\to L[/tex] en [tex]N_2[/tex] slik at [tex]|b_n-L| \lt \eps \, \forall n\geq N_2[/tex].
Vi vet at [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex].
Oppgaven vår er nå å finne en N slik at [tex]|c_n-L| < \eps \forall n \geq N[/tex]. Men siden [tex]a_n \leq c_n \leq b_n[/tex], velger vi bare [tex]N=\max(N_1,N_2)[/tex]. Dermed har vi funnet et tall N slik at [tex]|c_n-L| \lt \eps \forall n \geq N[/tex].
---
Ihvertfall. Spørsmålet mitt er som tidligere: Holder dette (selv blir jeg ikke helt overbevist av mine egne argumenter; det som skal beviser er jo opplagt, men det formelle er pes), eller trenger jeg rett og slett bare mer øving/lesing ang epsilon/delta-lignende bevis?
Om noen gidder, ville jeg også vært glad for flere lignende oppgaver.