matematikk.net

Sand glir ned ei renne og lager en kjegleformet sandhaug. I det øyeblikket kjeglens høyde er 3 m og radien er lik 2m, øker høyden med 0,1 meter/minutt og radien med 0,05 meter/minutt. hvor mange kubikk sand glir ned renna per min?

altså skjønner at man på en eller annen måte må sette opp en funksjon av volum for deretter finne dV/dt når dRadien/dtid og dHøyden/dtid er gitt, men hva gjør man når man har 2 variabler å forholde seg til, altså både høyde og radien endrer på seg.

skjønner at det ikke funker å sette at Volum= [symbol:pi] r^2h/3 = [symbol:pi] r^2*(3r/2)/3 "forholdet mellom høyde og raiden er 3/2 i dette øyeblikket". for deretter å finner dVolum/dTid = dVolum/dRadien * dRadien/dTid. siden man her også må ta hensyn til at høyden er en variabel.

hvordan skal man gå fram for å løse en slik oppgave?

Jeg kan forklare litt med hjelp av derivasjon;

[tex]\text \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}\,+\,\frac{dV}{dh}\cdot \frac{dh}{dt}[/tex]

der [tex]\,\,\,\text \frac{dh}{dt}=h^,(t)=0,1\,m/min[/tex]

og

[tex]\,\,\,\text \frac{dr}{dt}=r^,(t)=0,05\,m/min[/tex]

takker for responsen.

har forsøkt å gjøre det på den måten du viste men får fortsatt ikke svaret til å bli [symbol:pi] /3. Blir ikke dv/dr * dr/dt + dv/dh*dh/dt = (dv + dv ) / dT siden man kan stryke dr mothverandre og dh mot hverandre føre man sumerer.

uansett hvordan ville du satt opp V(r) og V(h)?

Jerv skrev:takker for responsen.
har forsøkt å gjøre det på den måten du viste men får fortsatt ikke svaret til å bli [symbol:pi] /3. Blir ikke dv/dr * dr/dt + dv/dh*dh/dt = (dv + dv ) / dT siden man kan stryke dr mothverandre og dh mot hverandre føre man sumerer.
uansett hvordan ville du satt opp V(r) og V(h)?

Altså, [tex]V(r)=V(h)=\frac{\pi r^2h}{3}[/tex]
ikke sant...?

der[tex]\,\,\text V^,(r)={2\over 3}\pi \cdot r\cdot h[/tex]

og

[tex]\,\,\text V^,(h)={\pi\over 3}\cdot r^2[/tex]

-----------------------------------

[tex]\text \frac{dV}{dt}=V^,(t)=V^,(r)\cdot r^,(t)\,+\,V^,(h)\cdot h^,(t)=({2\over 3}\pi\cdot 2\cdot 3)\cdot 0,05\,+\,({\pi\over 3}\cdot 2^2)\cdot 0,1\,\,\,m^3/min\,=\,{\pi\over 3}\,\,\,m^3/min[/tex]

aha takker så meget for hjelpen

jeg hadde satt opp v(h) og v(r) feil, altså som vist i innledende spm hvor jeg tok hensyn til den formlike trekanten den danner i det øyeblikket den er 3m høy og 2m i radius altså at V(r) = [symbol:pi] r^2 * (3/2)r/3 = 3 [symbol:pi]r^3/3. har fortsatt litt vanskeligheter med å forstå at dv/dr * dr/dt + dv/dh*dh/dt = dv/dt men skal jobbe med det.

takk for hjelpen atter en gang

Differensialer må for all del håndteres med en viss respekt. Man kan ikke se på dem som vanlige faktorer i en ligning, selv om det ofte kan virke som at forelesere etc., særlig i mer anvendte matematikkkurs, gjør det.

F.eks. er det viktig å ha en god notasjon. Kjerneregelen for en funksjon av to variable skrives f.eks. (helt eksplisitt) best slik:

[tex]\frac{d}{dt}V(x(t),y(t))=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{dy}{dt}[/tex].