matematikk.net

Har noen et løsningsforslag for denne? Det ville ha vært til stor hjelp.

Oppgaveteksten lyder som følger:

En 3 × 3-matrise M er gitt ved

[tex]M = \begin{pmatrix} 0&2&\alpha\\1&-1&1\\2&-1&2\end{pmatrix}[/tex]

hvor [tex]\alpha[/tex] er et reelt tall. For ett bestemt valg av [tex]\alpha[/tex] har M en egenverdi [tex]\lambda = 0[/tex]. Hvilken verdi av [tex]\alpha[/tex] er dette?

[tex]M = \begin{pmatrix} 0&2&\alpha\\1&-1&1\\2&-1&2\end{pmatrix}[/tex]

sånn?

Altså; hvilken verdi har [tex]\alpha[/tex] når [tex]\lambda = 0[/tex]?

At 0 er en egenverdi for matrisa er ekvivalent til at determinanten D er 0. Nå er D en lineær funksjon i alpha, så vi har nøyaktig en verdi som passer.

Viser til mrcreosote over. Bruk den informasjonen, det viser hvor mange ulike slike verdier som eksisterer. Deretter behøver du ikke kofaktorekspansjon for å finne determinanten og en likning for alpha. Se på kolonnene, og du bør finne alpha direkte ved inspeksjon.

Lurer på det samme. Kunne noen vist med eksempelet gitt hvordan man finner denne [tex]\alpha[/tex]? Var ikke helt med i svingende her..

Regn ut determinanten til matrisa. Dette blir en lineær funksjon i alpha. Determinanten må være 0 for at vi skal ha 0 som en egenverdi. Løs ligninga determinant=0 med hensyn på alpha. Prøv!

Så det blir rett og slett å vise at:

[tex]0=0(-1\times 2-(-1)\times 1)-2(1\times 2-2\times 1)+\alpha(1\times (-1)-2\times(-1))[/tex]
[tex]0=-4+4-\alpha+2\alpha[/tex]
[tex]\alpha=0[/tex]?

Vil det bli likt for matriser med egenverdi [tex]\lambda[/tex][symbol:ikke_lik] 0?

Alpha blir 0, ja. Det bør du også klare å se direkte (sammenlign kolonne 1 med kolonne 3.) For egenverdier annet enn null blir det litt annerledes. Husk at determinanten er lik produktet av egenverdiene. Hvis du ønsker å finne alpha slik at matrisen har en gitt egenverdi kan du benytte deg av at en lineær operator T har egenverdi lambda hvis og bare hvis [tex]T - \lambda I[/tex] er ikke-injektiv (m.a.o.: har egenverdi 0).