matematikk.net

Skal finne de 3 tredje røttene til z = -1:

arg(-1) = [pi][/pi] ?
z = -1 = cos[pi][/pi] +isin[pi][/pi]

Jeg får det til å stemme for w[sub]2[/sub] og w[sub]3[/sub], men ikke w[sub]1[/sub] som skal være -1.

n = 3
w[sub]1[/sub] = |-1|[sup]1/n[/sup]*(cos([pi][/pi]/n) + isin([pi][/pi]/n))

Hva gjør jeg feil ?

Gjør du noe feil da?
Med arg(-1)=[pi][/pi], z=-1, blir dette for n=1
w[sub]1[/sub]=cos([pi][/pi])+isin([pi][/pi])=-1 , som vel var svaret du var ute etter?
w[sub]1[/sub] er tilfellet n=1.
cos[pi][/pi]=-1
sin[pi][/pi]=0

w[sub]1[/sub] = |z|[sup]1/3[/sup]*(cos([pi][/pi]/3) + isin([pi][/pi]/3))

w[sub]2[/sub] = |z|[sup]1/3[/sup]*(cos(([pi][/pi] + 2[pi][/pi])/3)) + isin(([pi][/pi] + 2[pi][/pi])/3)))

w[sub]3[/sub] = |z|[sup]1/3[/sup]*(cos(([pi][/pi] + 4[pi][/pi])/3)) + isin(([pi][/pi] + 4[pi][/pi])/3)))

|z|[sup]1/3[/sup] = |-1|[sup]1/3[/sup] = 1


I dette tilfellet skal vel n = 3 ?

Det virker som det brukes en "kokebokoppskrift" her, og da er det lett at ting ikke går som det skal.
Du skal finne røttene til z[sup]3[/sup] = -1.
Prøv denne framgangsmåten:

z[sup]3[/sup] = -1 = e[sup]i[pi][/pi][/sup] = e[sup]i[pi][/pi] + 2ik[pi][/pi][/sup]

for k = 0,1,2,... (Jeg regner med du vet at dette er lov?)
Ta så tredjeroten på vanlig måte på begge sider, og la løsningene være z[sub]k[/sub]. Vi får da

z[sub]k[/sub] = e[sup]i[pi][/pi]/3 + 2ik[pi][/pi]/3[/sup]

for k = 0,1,2,...
Der har du alle løsningene. Tegner du opp disse på enhetssirkelen, så vil du se at, for k=0,1 og 2 at disse har vinkel hhv 60, 180 og 300 grader (i vanlig forstand). Velger du k høyere, vil disse punktene begynne å gjenta seg selv.

Ja, selvfølgelig. Beklager.
w[sub]2[/sub] blir i hvertfall -1
w[sub]1[/sub] blir (1/2)+i[rot][/rot](3)/2
w[sub]3[/sub] blir (1/2)-i[rot][/rot](3)/2

Det skulle være svaret. w[sub]1[/sub] blir i dette tilfellet ikke -1.[rot][/rot]

Ble litt forvirret av fasitsvaret i boken. Der sto løsningen slik:

-1, 1/2 +i[rot][/rot]3/2, 1/2 - i[rot][/rot]3/2

Da trodde jeg w[sub]1[/sub] = -1, men det var det tydeligvis ikke, hehe.

Takk for hjelpen.