Noen som kan hjelpe meg med denne?
Finn løysinga av initialverdiproblemet
([symbol:rot] (1 − x^2)) dy/dx + y = x, y(0) = −1.
Er denne separabel? Jeg får hvertfall ikke til å løse den. Kan noen hjelpe?
Separabel diff.ligning?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Må vel bruke integrerende faktor på denne.
[tex]\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}+y=x\, \, \, y(0)=-1[/tex]
Hensikten er å gange med en faktor i alle ledd for å kunne deretter gjenkjenne høyresiden som produktregelen for derivasjon:
[tex]\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})y=(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})x[/tex]
Integrerende faktoren blir [tex]e^{\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}[/tex]
Integralet blir [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C[/tex](takker Wikipedia!)
[tex](e^{arcsin(x)+C})\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})y=(\frac{1}{sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})x[/tex]
Nå har vi situasjonen at [tex]e^{arcsin(x)+C}=I(x)[/tex] og [tex]y=p(x)[/tex] og som følger.
[tex]I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x)=I^\prime(x)\cdot x[/tex]
Antideriverte til venstresiden kjenner vi nå igjen som produktregelen for derivasjon.
[tex]\int(I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x))dx=I(x)\cdot p(x)[/tex]
derfor blir likningen nå
[tex]ye^{arcsin(x)+C}=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}xe^{arcsin(x)+C}dx[/tex]
Stoler på [tex]Mathematica^{Tm}[/tex] og integralet av høyresiden er da.
[tex]ye^{arcsin(x)+C}+C=\frac{1}{2}e^{arcsin(x)+C}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex] og man blir kvitt den integrerende faktoren igjen.
[tex]y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex]
[tex]y(0)=\frac{1}{2}(0-\sqrt{1-0^2})+C[/tex]
[tex]-1=-\frac{1}{2}+C[/tex]
[tex]C=-\frac{1}{2}[/tex]
Håper du forstår hva jeg har gjort. Er rimelig rett fram, men må finne den integrerende faktor og løse et par klumsete integraler. Forbi det er det en ganske enkel prosess. Lykke til videre
[tex]\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}+y=x\, \, \, y(0)=-1[/tex]
Hensikten er å gange med en faktor i alle ledd for å kunne deretter gjenkjenne høyresiden som produktregelen for derivasjon:
[tex]\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})y=(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})x[/tex]
Integrerende faktoren blir [tex]e^{\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}[/tex]
Integralet blir [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C[/tex](takker Wikipedia!)
[tex](e^{arcsin(x)+C})\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})y=(\frac{1}{sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})x[/tex]
Nå har vi situasjonen at [tex]e^{arcsin(x)+C}=I(x)[/tex] og [tex]y=p(x)[/tex] og som følger.
[tex]I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x)=I^\prime(x)\cdot x[/tex]
Antideriverte til venstresiden kjenner vi nå igjen som produktregelen for derivasjon.
[tex]\int(I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x))dx=I(x)\cdot p(x)[/tex]
derfor blir likningen nå
[tex]ye^{arcsin(x)+C}=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}xe^{arcsin(x)+C}dx[/tex]
Stoler på [tex]Mathematica^{Tm}[/tex] og integralet av høyresiden er da.
[tex]ye^{arcsin(x)+C}+C=\frac{1}{2}e^{arcsin(x)+C}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex] og man blir kvitt den integrerende faktoren igjen.
[tex]y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex]
[tex]y(0)=\frac{1}{2}(0-\sqrt{1-0^2})+C[/tex]
[tex]-1=-\frac{1}{2}+C[/tex]
[tex]C=-\frac{1}{2}[/tex]
Håper du forstår hva jeg har gjort. Er rimelig rett fram, men må finne den integrerende faktor og løse et par klumsete integraler. Forbi det er det en ganske enkel prosess. Lykke til videre
Her er det flere ting du må passe på.
1) Det er ikke nødvendig med en ubestemt koeffisient i den integrerende faktoren.
2) De to koeffisientene trenger ikke være de samme (du har kalt begge for C).
3) Når du deler på den integrerende faktoren, må du huske på at du fortsatt har den ubestemte koeffisienten på høyresiden.
1) Det er ikke nødvendig med en ubestemt koeffisient i den integrerende faktoren.
2) De to koeffisientene trenger ikke være de samme (du har kalt begge for C).
3) Når du deler på den integrerende faktoren, må du huske på at du fortsatt har den ubestemte koeffisienten på høyresiden.
