Må vel bruke integrerende faktor på denne.
[tex]\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}+y=x\, \, \, y(0)=-1[/tex]
Hensikten er å gange med en faktor i alle ledd for å kunne deretter gjenkjenne høyresiden som produktregelen for derivasjon:
[tex]\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})y=(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})x[/tex]
Integrerende faktoren blir [tex]e^{\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}[/tex]
Integralet blir [tex]\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C[/tex](takker Wikipedia!)
[tex](e^{arcsin(x)+C})\frac{dy}{dx}+(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})y=(\frac{1}{sqrt{1-x^2}})(e^{arcsin(x)+C})x[/tex]
Nå har vi situasjonen at [tex]e^{arcsin(x)+C}=I(x)[/tex] og [tex]y=p(x)[/tex] og som følger.
[tex]I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x)=I^\prime(x)\cdot x[/tex]
Antideriverte til venstresiden kjenner vi nå igjen som produktregelen for derivasjon.
[tex]\int(I(x)\cdot p^\prime(x)+I^\prime(x)\cdot p(x))dx=I(x)\cdot p(x)[/tex]
derfor blir likningen nå
[tex]ye^{arcsin(x)+C}=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}xe^{arcsin(x)+C}dx[/tex]
Stoler på [tex]Mathematica^{Tm}[/tex] og integralet av høyresiden er da.
[tex]ye^{arcsin(x)+C}+C=\frac{1}{2}e^{arcsin(x)+C}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex] og man blir kvitt den integrerende faktoren igjen.
[tex]y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{1-x^2})+C[/tex]
[tex]y(0)=\frac{1}{2}(0-\sqrt{1-0^2})+C[/tex]
[tex]-1=-\frac{1}{2}+C[/tex]
[tex]C=-\frac{1}{2}[/tex]
Håper du forstår hva jeg har gjort. Er rimelig rett fram, men må finne den integrerende faktor og løse et par klumsete integraler. Forbi det er det en ganske enkel prosess. Lykke til videre
