matematikk.net

Vis at
lim[sub]n->uendelig[/sub][sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup](1/n)ln(1+(k/n))=2 ln(2) - 1

Hvor begynner jeg? Vet ikke hvordan jeg behandler logaritmer inne i en sum...

Dette var en morsom oppgave, men langt fra triviell. Jeg klarte å løse den til slutt, og kan vel gi den noen tips.

1)Siden du summerer over k, kan du flytte(1/n) ut av summen.
2)Spiltt logaritmen i to(sett på fellesbrøkstrek først)
3)Den ene summen blir da triviell, den andre litt værre.
4) Den vanskelige summen har å gjøre med logaritmen til Eulers Gamma-funksjon. Siden vi kun har å gjøre med heltall forenkler det hele seg ganske bra(til fakulteter).
5)Ta grenseverdien til dette

Finnes det lettere måter, så legg det gjerne inn her!!

Cauchy skrev: 1)Siden du summerer over k, kan du flytte(1/n) ut av summen.

Ok, den er grei.

Cauchy skrev: 2)Spiltt logaritmen i to(sett på fellesbrøkstrek først)

Jeg antar du her mener ln(1+(n/k))=ln((n+k)/n)=ln(n+k)-ln(n)

Cauchy skrev: 3)Den ene summen blir da triviell, den andre litt værre.

Jeg antar den trivielle summen blir [sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup]ln(n)=n ln(n)
Ved å multiplisere med faktoren (1/n) blir dette ln(n). Men er det ikke denne delen av stykket som skal bli -1? ln(n) divergerer jo mot uendelig. Har jeg regnet ut summen feil?

Cauchy skrev: 4) Den vanskelige summen har å gjøre med logaritmen til Eulers Gamma-funksjon. Siden vi kun har å gjøre med heltall forenkler det hele seg ganske bra(til fakulteter).

Her mistet du meg fullstendig. Hva er Eulers gammafunksjon? Hvordan bruker jeg den i dette tilfellet?

Jeg skrev litt feil i sted...kan ikke forenkle gammafunksjonen, siden
n-->uendelig.

Anbefaler å lese litt om gammafunksjonen f.eks på mathworld, det er litt drøyt å forklare her.Poenget er uansett at

(1/n)[sigma][/sigma]ln((n+k)/n)=(1/n)*[ (n+1)*ln(1/n) - ln(1/n) + Gamma(2n+1) - Gamma(n+1) ]

Man kan da også vise at denne grenseverdien blir 2ln2-1.
Det er flere ting i det jeg skrev tidligre som ikke stemmer helt tror jeg.
Denne oppgaven er ganske finurlig!

[sigma][/sigma]

Hvilket kurs er forresten dette??

Har du ikke hørt om gamma-funksjonen er det altså sannsynligvis en enklere måte å løse dette på, fordi grenseverdiene her er langtfra trivielle, og må behandles litt "spesielt" tror jeg.

Emnet heter MAT112 eller "Brukerkurs i mattematikk 2" i Bergen.
http://studentportal.uib.no/?link_id=22 ... ode=MAT112

Jeg tror nok gammafunksjonen er et godt stykke utenfor dette pensumet, iallefall i sin helhet...Den har mange anvendelser og henger sammen med en del andre spesielle funksjoner. Rent generelt er nok det du kommer til å få mest bruk for ved gamma-funksjonen at:

Gamma(x+1)=x! ,x=0,1,2,3......

Denne var litt spesiell denne ja, og krever litt regning. Det er forsåvidt ingen vits i å blande inn gammafunksjonen her, siden som Cauchy sier, så er den for hele tall bare en annen måte å skrive fakulteter på.

Det jeg gjorde var, etter å ha redusert uttrykket til
lim (1/n)*ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]
så brukte jeg Stirlings formel:
n! = n[sup]n+1/2[/sup]e[sup]-n[/sup]sqrt(2*pi).
Denne gjelder riktignok bare tilnærmet for store n, men konvergerer mot denne verdien når n går mot uendelig.
Da løser det hele seg opp, og blir ganske enkelt.

Takk Bernoulli!

Skjønte at det måtte finnes en lettere måte å gjøre det på, ettersom gammafunksjonen lå langt utenfor det kuset!

Jeg har vært borti Stirlings formel, men jeg ser ikke hvordan jeg får uttrykket til å bli
lim (1/n)*ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]

Det er bare vanlig manipulasjon av uttrykk.
Først reduser uttrykket til

-ln(n) + (1/n)[sigma][/sigma]ln(n+k)

Så fjerner du summetegnet:

-ln(n) + (1/n)[ln(n+1) + ln(n+2) + ... + ln(2n)]

Bruk regelene for logaritmer:

-ln(n) + (1/n)ln[(n+1)(n+2)...(2n)]

Og nå kommer trikset:

-ln(n) + (1/n)ln[(2n)!/n!]

Og til slutt:

(1/n)ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]

Nå kan du bruke Stirlings formel, og ta grensen når n går mot uendelig.

Her er en annen måte å løse oppgaven på (løsningsforslaget til oppgaven):
f(x)=ln(x+1) er kontinuerlig på [0,1] og derfor Riemann integrerbar. La P[sub]n[/sub] være partisjonen P[sub]n[/sub]={0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1}. Da vil U(f,P[sub]n[/sub]) -> [itgl][/itgl][sub]0[/sub][sup]1[/sup]ln(1+x)dx når n -> uendelig. Siden [itgl][/itgl]ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)-x+C, får man lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=2ln2-1, eller, da ln(x+1) er en voksende funksjon, lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=lim[sub]n->uendelig[/sub][sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup]ln(1+(k/n))*(1/n)=2ln2-1

vet du hvor man finner løsninger på tidligere eksamensoppgaver?