matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg med å løse følgende integral:
[tex]\int \frac{1}{(a^2+x^2)^{(3/2)}} dx[/tex] der a er en konstant.

I følge integrals.wolfram.com skal svaret være:
[tex] \frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}[/tex]
Så jeg lurer på hvordan man kommer frem til det svaret.

Bruk substitusjonen [tex] x=a\sinh(u)\,\! [/tex]. Man benytter videre identiteten [tex]\cosh^2(u)=1+\sinh^2(u)\,\![/tex] og det faktum at [tex]\frac{d}{du}\(\frac{\sinh(u)}{\cosh(u)}\)=\frac{1}{\cosh^2(u)}\,\![/tex].

Tusen takk.

Da blir det vel omtrent:
[tex]I=\int \frac{1}{(a^2+x^2)^{(3/2)}}dx[/tex]
[tex]x=asinh(u), dx=acosh(u) du[/tex]
[tex]I=\int \frac{acosh(u)}{(a^2(1+sinh^2(u))^{(3/2)}}=\int \frac{acosh(u)}{a^3cosh^3(u)}=\int \frac{1}{a^2cosh^2(u)}=\frac{sinh(u)}{a^2cosh(u)}=\frac{sinh(u)}{a^2\sqrt{1+sinh^2(u)}}[/tex]
[tex]=\frac{\frac{x}{a}}{a^2\sqrt{1-\frac{x}{a}^2}}=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}[/tex]