matematikk.net

Hvordan går man fram for å løse slike problem?

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]

Svaret skal blir [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

Hva med å løse integralet først? Hva er en antiderivert til 1/(1+x^2)??

Eventuelt være litt lur. Forsøk å skriv ut et par ledd av summen (uten å evaluere integralet), og se om du kan skrive summen på en enklere måte.

Takk, forstod det nå. Alle leddene utenom det første og siste kan elimineres.

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{k} \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx = (\arctan \ 1 -\arctan \ 0) + (\arctan \ 2-\arctan \ 1) + ... + (\arctan \ (k+1)-\arctan \ k) = \arctan \ (k+1) -\arctan \ 0 \\ \lim_{k\to\infty}\ \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}[/tex]