Ortogonale trajektorar
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Flautt sprøsmål, meeen. Sit og skal finne det boka kallar for ortogonale trajektorar til kurver av familien y = mx..derivasjon av denne familien gir jo dy/dx = m og såleis skulle då linjer som står normalt på desse ha negatvit resiprokt stigningstal (-1/m)..ved integrasjon av dette får eg slett ikkje dei ortogonale kurvene til å høyre til x^2 + y^2 = c som naturleg nok må vere svaret..kva gjer eg feil?
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Ortogonale trajektorer hadde jeg faktisk ikke hørt om før, men tror jeg forstår konseptet fra eksempelet ditt samt wikipedia-artikkelen
Hvilken definisjon gir boka?
Uansett, her er et hint:
[tex] y = mx \Rightarrow m = \frac yx[/tex]
Hvilken definisjon gir boka?
Uansett, her er et hint:
[tex] y = mx \Rightarrow m = \frac yx[/tex]
La [tex]f(x,y)=\frac{y}{x}[/tex]. Vi skal finne de ortogonale trajektorene til familien av kurver gitt ved [tex]f(x,y)=m[/tex]. Derfor må vi løse den partielle diffligningen [tex]\nabla f \cdot \nabla g =0[/tex].
[tex]\nabla f=<\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}>=<-\frac{y}{x^2},\frac{1}{x}>\,\![/tex] så [tex]g_ {x}-\frac{x}{y}g_ {y}=0[/tex]. Problemet blir å finne de karakteristiske kurvene til [tex]g(x,y)[/tex], dvs. de kurvene der g er konstant, så vi ønsker å finne et utrykk for [tex]\Delta g(x,y)=g(x+\Delta x, y+ \Delta y)-g(x,y)[/tex]. Taylorutvikling til første orden i to variable gir at [tex]\Delta g = g_ {x}\Delta x + g_ {y} \Delta y=(\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y )g_ {y}[/tex]. Vi krever at [tex] \Delta g =0 [/tex] eller [tex]\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y =0[/tex] som gir [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{x}{y}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}[/tex] med løsning [tex]x^2+y^2=m[/tex] for m konstant. Disse er derfor de ortogonale trajektorene til familien av rette linjer gjennom origo.
[tex]\nabla f=<\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}>=<-\frac{y}{x^2},\frac{1}{x}>\,\![/tex] så [tex]g_ {x}-\frac{x}{y}g_ {y}=0[/tex]. Problemet blir å finne de karakteristiske kurvene til [tex]g(x,y)[/tex], dvs. de kurvene der g er konstant, så vi ønsker å finne et utrykk for [tex]\Delta g(x,y)=g(x+\Delta x, y+ \Delta y)-g(x,y)[/tex]. Taylorutvikling til første orden i to variable gir at [tex]\Delta g = g_ {x}\Delta x + g_ {y} \Delta y=(\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y )g_ {y}[/tex]. Vi krever at [tex] \Delta g =0 [/tex] eller [tex]\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y =0[/tex] som gir [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{x}{y}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}[/tex] med løsning [tex]x^2+y^2=m[/tex] for m konstant. Disse er derfor de ortogonale trajektorene til familien av rette linjer gjennom origo.