Uttrykk for sum

[Kent]

Finn et uttrykk for
f(x)=[sigma][/sigma][sub]n=0[/sub][sup]uendelig[/sup][(-1)[sup]n[/sup]x[sup]n+1[/sup]]/[(2n)!(n+1)]

Denne skulle vel konvergere for alle x?
Jeg har to hypoteser, men jeg klarer ikke å vise noen av dem. Den første er at summen skal uttrykkes ved sin/cos. Den andre er at det skal uttrykkes ved ln. Den siste hypotesen kommer fra at summen kan skrives slik:
f(x)=[sigma][/sigma][sub]n=0[/sub][sup]uendelig[/sup]([(-1)[sup]n[/sup]x[sup]n+1[/sup]]/[(n+1)])*(1/(2n)!).
Uten faktoren (1/(2n)!) kunne vel summen blitt uttrykt som ln(1+x)? Hva kan jeg i så fall gjøre med den faktoren?
Er hypotesene min feil? Har noen noe tips til løsning av denne oppgaven?

[Cauchy]

Uten å ha prøvd dette kan det kanskje være en god ide å derivere rekken. Da blir du kvitt faktoren (n+1)...Så kan du vel bare løse difflikn forå komme tilbake til f(x)....Kan jo f.eks bruke at f(0)=0 til å bestemme konstanten

[Cauchy]

Kan se ut som om den deriverte summen konvergerer mot

cos([rot][/rot]x)

Kan dette stemme??[rot][/rot]

[Kent]

Ja, jeg prøvde det og fikk
[sigma][/sigma][(-1)[sup]n[/sup]x[sup]n[/sup]]/(2n)!
Problemet er at jeg fremdeles ikke kjenner igjen og dermed klarer forenkle summen.

Beklager, var visst litt sen med å skrive. Det kunne jo høres sannsynlig ut med cos[rot][/rot]x, ja.[rot][/rot]

[Cauchy]

[sigma][/sigma](-1)[sup]n[/sup]x[sup]2n[/sup]/(2n!)=cos(x)

Dette gir

[sigma][/sigma](-1)[sup]n[/sup]x[sup]n[/sup]/(2n!)=
[sigma][/sigma](-1)[sup]n[/sup]([rot][/rot]x)[sup]2n[/sup]/(2n!)=cos([rot][/rot]x)


Tror jeg iallefall...Stemmer det??

[Kent]

Har ikke fasit, men det høres fornuftig ut. Men så var det integreringen da. Det er den deriverte av den opprinnelige summen som konvergerer mot cos[rot][/rot]x. Er det mulig å integrere cos[rot][/rot]x med analytiske metoder?

[Cauchy]

Det går ja, men er litt pes. kan jo si at svaret skal bli

2*cos([rot][/rot]x)+2*[rot][/rot]x*sin([rot][/rot]x) +C

Formen på dette svaret bør gi deg noen hint til fremgangsmåten.[rot][/rot]

[Kent]

Beklager maset, men jeg klarer ikke se hvilken identitet du har benyttet i starten av integrasjonen

[Kent]

Er dette lov?
u=[rot][/rot]x
du=1/(2[rot][/rot]x)dx=1/(2u)dx , dx=2udu
[itgl][/itgl]cos([rot][/rot]x)dx=[itgl][/itgl]2ucos(u)du
o=2u , do=2
dv=cos(u) , v=sin(u)
[itgl][/itgl]cos([rot][/rot]x)dx=[itgl][/itgl]2ucos(u)du=2usin(u)-[itgl][/itgl]2sin(u)du=2usin(u)+2cos(u)+C=2[rot][/rot](x)sin([rot][/rot]x)+2cos([rot][/rot]x)+C

C=-2

[Cauchy]

Det skulle vel gå greit!

Har jeg forstått deg rett substituerer du først, og så delvis integrerer...