Lineær (u)avhengighet

[Fettsnerk]

God ettermiddag, folkens!

Jeg har forsøkt en god stund nå å forstå hva det innebærer at to funksjoner [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex] er lineært (u)avhengige på et gitt intervall [tex]I[/tex]. Så vidt jeg har forsått vil funksjonene være uavhengige hvis det ikke finnes en konstant slik at [tex]y_1=Ky_2[/tex], der [tex]K[/tex] er en konstant, på [tex]I[/tex].

For å illustrere, la oss se på de to funskjonene [tex]cos^2(x)[/tex] og [tex]sin^2(x)[/tex]. Ettersom begge er periodiske funksjoner, kan de studeres på et hvilket som helst intervall(?). Jeg ser ikke at det kan eksistere noen konstant som gjør at uavhengighetsbetingelsen oppfylles og at de dermed er linæert avhengige.

Er jeg på sporet? Hvordan går jeg fram for å bestemme avhengighet?


På forhånd takk!

[Gustav]

Du må bevise at det ikke fins et par (a,b) ulik 0 slik at

[tex]a\cos^2(x)+b\sin^2(x)=0[/tex] for alle x i intervallet.

Sett x=0. Da får du a=0.

Dette gir at


[tex]b\sin^2(x)=0[/tex] for alle x, så da må b=0.

[Fettsnerk]

Du må bevise at det ikke fins et par (a,b) ulik 0 slik at

[tex]a\cos^2(x)+b\sin^2(x)=0[/tex] for alle x i intervallet.

Sett x=0. Da får du a=0.

Dette gir at


[tex]b\sin^2(x)=0[/tex] for alle x, så da må b=0.

Og da er de lineært avhengige, siden a=b=0?

[Gustav]

Da er de lineært uavhengige.

Bevis er ved selvmotsigelse (Proof by contradiction) slik jeg har formulert det over.

Dersom du skal vise at to (eller flere) funksjoner (evt. vektorer) er lineært avhengige, er det nok å finne ett eksempel på skalarer (k_1,k_2,...,k_n) slik at

[tex]k_1f_1(x)+k_2f_2(x)+\cdots k_nf_n(x)=0[/tex] for alle x i intervallet man studerer, der minst én av k_i-ene er ulik null.

Trivielt eksempel:

f(x)=x, g(x)=2x er åpenbart lineært avhengige på R siden vi kan velge skalarer 2 og -1:

2f(x)+(-1)g(x)=0 for alle x i R.

f(x)=1 og g(x)=x er lineært uavhengige siden

af(x)+bg(x)=0 for alle x i R, impliserer at for spesialtilfellet x=0 vil a måtte være 0. Da må bg(x)=bx=0 og dette impliserer at b må være 0 siden dette skal gjelde for alle reelle x).