matematikk.net

Hei...

Tror jeg tenker litt feil på oppgave b her... a og c er jeg ferdig med...


min tankegang på b)

[tex]A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/tex]

[tex]B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]AB = \begin{pmatrix}a\cdot 1 + b\cdot 0 & a\cdot 1 + b \cdot 1 \\ c\cdot 1+d\cdot 0 & c \cdot 1 + d\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix} [/tex]

[tex]BA = \begin{pmatrix}1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1 \cdot d \\ 0\cdot a+1\cdot c & 0\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c & b + d \\ c & d \end{pmatrix} [/tex]

Og antar dette er kraftig feil tankegang.. Ser felles i de begge er samme som matrisen A...
Står som siste oppgave i boka og dermed litt vrien sikker, men ikke noe "ala" forslag i boka på denne type oppgaver... Står bare hvordan gange to sammen for så at de kommuterer eller ikke...

Gjerne innspill og tips denne deloppgave b og hvordan man løser den... kommer ikke på noen annen måte å gjøre det på siden må omhandle matrise A og B og ikke ta utgangspunkt i B alene...

svar:
[tex]\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}[/tex]

du kan se på hva de forskjellige radene og kolonnene i hver av matrisene må være for at de skal være like, f.eks som å sammenligne et ligningssystem.

1) [tex]AB_{(1,1)} = BA_{(1,1)}[/tex] hvis c = 0
2) [tex]AB_{(1,2)} = BA_{(1,2)}[/tex] hvis a = d

sett dette inn i begge matrisene, så vil du ha at AB = BA, og matrisen du da sitter igjen med skal være lik den du har skrevet som svar.

Kanskje du kan skrive slik:

[tex]AB = BA[/tex]

[tex]A=B^{-1}BA[/tex]

[tex]A=\begin {pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/tex]

fordi [tex]\,\,B^{-1}B=BB^{-1}=I[/tex]

der I er identitetsmatrisa

a + c = a
b + d = a + b
c = c
d = c + d
-----------------

dette stemmer for c = 0 og a = d

altså


[tex]A=\begin {pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}[/tex]

-----------------------

EDIT, for sein.

Herlig.... Skjønte claude... Sitter å leser om inverse matriser og synes det er litt kronglete forklart i boka men skal prøve meg på et par oppgaver og se om jeg forstår det.. Men forstod når du skrev at man skal sammenlikne matrisenes elementer ...

Skal jeg bare skrive det jeg har skrevet over og forklare at jeg sammenligner og ser at a = a+c så må c = 0 for at det skal gå opp...?

du skal jo vise at alle rader og kolonner er like, så du må sammenligne de på et eller annet vis.

enten kan du gange ut som du har gjort (AB og BA og sammenligne direkte), eller så kan du gjøre som Janhaa har gjort (dog tror jeg han har en liten feil i ene uttrykket) og isolere A på ene siden, og deretter sammenligne de forskjellige koeffisientene i det resulterende uttrykket:

[tex]AB=BA \Rightarrow A\underbrace{BB^{-1}}_{I}=BAB^{-1} \Rightarrow AI = BAB^{-1} \Rightarrow A = BAB^{-1}[/tex]

[tex]B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \Rightarrow A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}=BAB^{-1} = \begin{pmatrix}(a+c) & (b+d-a-c) \\ c & (d-c)\end{pmatrix}[/tex]

og igjen må du sammenligne og se hva de forskjellige verdiene må være for at det skal være likhet mellom [tex]A[/tex] og [tex]BAB^{-1}[/tex] (og igjen får du samme svar ).

Ok, sammenligne må jeg uansett så da gjør jeg det som du gjorde først siden vi ikke har "lært" det andre når vi gjør denne oppgaven, men jeg leser litt her og der ...

Men da skjønte jeg det... Tenkte meg det var noe sammenligning, men tenkte litt feil som i første post takker fo oppklaring Blir nok ikke siste matrise spørsmål antar jeg ...

Janhaa skrev:Kanskje du kan skrive slik:

[tex]AB = BA[/tex]

[tex]A=B^{-1}BA[/tex]

Dette er ikke riktig siden du må multiplisere matriser fra samme side.