Summer av uttrykk som går mot uendelig

[Sofoklis243]

[symbol:sum] n= 2 og går mot [symbol:uendelig] av følgende uttrykk: n5^(1-n)
Vet ikke helt hvordan man skriver det sånn at det ser rett ut på pc'en. Blir dette en grenseverdi? Og i såfall hvordan skal man uttrykke denne summen med et forenklet uttrykk?

[moth]

Mener du slik [tex]\sum_{n=2}^\infty n5^{1-n} [/tex] ?

Eller kanskje slik [tex]\sum_{n=2}^\infty 5n^{1-n} [/tex] ?


Kanskje du kan skrive den om til [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{5}{n^{n}} [/tex]

Er ikke sikker da, og vet ikke om det hjelper heller

[Sofoklis243]

Mener du slik [tex]\sum_{n=2}^\infty n5^{1-n} [/tex] ?

Kanskje du kan skrive den om til [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{5}{n^{n}} [/tex]

Er ikke sikker da, og vet ikke om det hjelper heller

Jepp mente slik ja, som den første du skrev. Er faktisk litt usikker på hva de er ute etter. Om det blir en grenseverdi som man skal oppgi. Men da fikk jeg iallfall koden til hvordan man skal skrive dette:) Takk for det:)
På den siste har du endra n=1. Blir det det samme da?

[moth]

Det var feil det jeg skrev isted, dessuten var det til den andre. Men fant ut av det no, det blir

[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{5^{n}}[/tex]

Men som sagt så vet jeg ikke om det hjelper. Virker ihvertfall som rekken er konvergent og at den går mot .57 kanskje. Jeg er ganske usikker.

[moth]

Jeg vet ikke hvordan du gjør summer om til grenseverdier, men kanskje det hjelper å skrive den om til

[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{5^{n}}\text{ }+\text{ }\sum_{n=1}^\infty 5^{-n}[/tex]

Ser ihvertfall ut som grei skuring hvis du har litt roen på det

[Gustav]

[tex]\sum_2^{\infty}n5^{1-n}=\sum_2^{\infty}n\frac{1}{5}^{n-1}[/tex]

[tex]\sum_2^{\infty}n\frac{1}{5}^{n-1}=\left {\sum_0^{\infty}n\frac{1}{5}^{n-1}\right}-1=\left {\frac{d}{dx}\sum_0^{\infty}x^n\right}\|_{x=\frac{1}{5}}-1[/tex]

Vi bruker den velkjente formelen for sum av geometrisk rekke:

[tex]\left {\frac{d}{dx}\sum_0^{\infty}x^n\right}\|_{x=\frac{1}{5}}-1=\frac{d}{dx}\left{ \frac{1}{1-x}\right}\|_{x=\frac{1}{5}}-1=\frac{1}{(1-x)^2}\|_{x=\frac{1}{5}}-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}[/tex]

Som thmo foreslo tidligere ligger summen nær [tex]0.57[/tex].

Kommentar: Alle summene er selvsagt over [tex]n[/tex] uten at jeg har spesifikt angitt dette.

[Sofoklis243]

Hei og takk for svar, men jeg skjønte ikke hvor - 1 kommer inn i bildet?
Jeg tenkte at summen av dette blir som med en konvergent rekke der jeg definerer k som 1/5, men det gir åpenbart feil svar for da ender jeg opp med 25/16!!! Dette etter følgende formel: s=1/(1-k² ) Så jeg ser at løsningen din er riktig, men som sagt så skjønte jeg ikke hvor -1 kommer inn hen eller hvorfor rettere sagt.

[drgz]

Hei og takk for svar, men jeg skjønte ikke hvor - 1 kommer inn i bildet?
Jeg tenkte at summen av dette blir som med en konvergent rekke der jeg definerer k som 1/5, men det gir åpenbart feil svar for da ender jeg opp med 25/16!!! Dette etter følgende formel: s=1/(1-k² ) Så jeg ser at løsningen din er riktig, men som sagt så skjønte jeg ikke hvor -1 kommer inn hen eller hvorfor rettere sagt.

-1 kommer fra at han endrer grensene på summen:

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}f(n) \Leftrightarrow \left[\sum_{n=0}^{\infty}f(n)\right]-f(1)-f(0)[/tex]
der [tex]f(n) = n\cdot5^{(1-n)}\Rightarrow \left{f(1)=1\cdot5^{(1-1)}=1\\f(0)=0\cdot5^{(1-0)}=0[/tex]

dvs, hvis du inkluderer leddene for n=1 og n=0 i summetegnet, så må du trekke de i fra (utenfor summen) hvis de ikke skulle være med i den opprinnelige summen. mulig det ble litt knotene forklart, men håper du forstår