matematikk.net

Hei,

dersom vi har en differentialikning som ser slik ut
[tex](2x^2+y)dx+(x^2y-x)dy=0[/tex]
og har den integrerende faktor på formen[tex]x^m[/tex]

Hvordan finner jeg m og løse differentiallikningen ? noen som kan hjelpe ?


EDIT:

[tex]\frac{\sigma M}{\sigma y}=1[/tex]

[tex]\frac{\sigma N}{\sigma x}=2xy-1 [/tex] --> ikke eksakt må finne en integrerende faktor...

bruker formelen : [tex]\frac{\frac{\sigma M}{\sigma y}-\frac{\sigma N}{\sigma x}}{{N}}[/tex] og får [tex]\frac{1-2xy-1}{2xy-1} = 1[/tex]

[tex] \mu^'(x)=y\mu [/tex]

[tex]\mu(x)= e^x^x[/tex]

[tex]\mu^'(x)= y\mu[/tex] dermed [tex]m=x[/tex]

kan noen bekrefte det jeg har gjort er riktig ?

pandorasbox skrev:Hei,

dersom vi har en differentialikning som ser slik ut
[tex](2x^2+y)dx+(x^2y-x)dy=0[/tex]
og har den integrerende faktor på formen[tex]x^m[/tex]

Hvordan finner jeg m og løse differentiallikningen ? noen som kan hjelpe ?

Prøv selv først, å fortell hva du tenker ang å løse denne oppgaven så kan vi hjelpe deg videre. Du lærer ikke om vi bare gir deg løsningen.

[tex](2x^2+y)dx+(x^2y-x)dy=0[/tex]

Gang med [tex]g(x)[/tex] og krev

[tex]{\frac{\partial g(x)M}{\partial y}={\frac{\partial g(x)N}{\partial x}[/tex]

[tex]g(x)\frac{\partial M}{\partial y}=N\frac{\partial g(x)}{\partial x}+g(x)\frac{\partial N}{\partial x}[/tex]


[tex]g(x)=(yx^2-x)\frac{\partial g(x)}{\partial x}+g(x)(2xy-1)=y(x^2\frac{\partial g(x)}{\partial x}+2xg(x))-x\frac{\partial g(x)}{\partial x}-g(x)[/tex]


[tex]2g(x)=y(x^2\frac{\partial g(x)}{\partial x}+2xg(x))-x\frac{\partial g(x)}{\partial x}[/tex]

Med [tex]g(x)=x^m[/tex] innsatt får vi


[tex]2x^m=y(mx^{m+1}+2x^{m+1})-mx^m[/tex]

[tex]2=xy(m+2)-m[/tex]

Dette går bra for [tex]m=-2[/tex].

Integrerende faktor blir altså [tex]x^{-2}[/tex]

Vi får dermed omformet den ikke-eksakte ligningen til følgende eksakte ligning

[tex](2+yx^{-2})dx+(y-x^{-1})dy=0[/tex]

som jeg er sikker på at du får til å løse;)

takk skal du ha, akkurat det har eg ikkje tenkt på... men man lærer av sine egne feile da