matematikk.net

Heisann. Jeg har kommet over en oppgave som lyder slik:

Regn ut dobbelintegralet gitt som [tex]\int \int _R e^{x^2}\, dx dy[/tex] hvor området R er i første kvadrant og avgrenset av x-aksen, og linjene x=1 og x=y.

Jeg finner de to funksjonene jeg skal ha: [tex]\psi_1 = y[/tex] og [tex]\psi_2 = 1[/tex]. Så stiller jeg opp integralet [tex]\int _0^1 \left[ \int _y^1 e^{x^2} dx \right] dy[/tex]. Nå kommer det egentlige problemet, for det innerste integralet blir jo ikke noe pent. Det finnes en funksjon gitt for slike integrander, men tror neppe det er det jeg skal bruke. Er det noe jeg har bommet helt på? Om jeg får inn en x i integralet kan jeg jo få integrert det pent opp med substitusjon, ved at [tex]u = x^2[/tex]. Fasitsvaret er oppgitt som [tex]\frac{e-1}{2}[/tex].

Du kan integrere med hensyn på y først. da får du

[tex]A=\int_0^1 e^{x^2} (\int_0^x dy)dx=\int_0^1 xe^{x^2}dx= \frac{1}{2}[e^{x^2}]_0^1[/tex]

Takk for svar, men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal kunne integrere med hensyn på y først. Det kunne ikke vært mulig å forklare fremgangsmåten? I kompendiet vi bruker fremstår det som at jeg må integrere på x først, og at funksjonene må være funksjoner av y. Jeg ser jo forsåvidt at det blir lagt opp til å gjøre det andre veien, men jeg ser ikke helt hvordan det skjer?

Tegn opp området du skal integrere over. Om du velger å gå parallelt med x eller y-aksen for å finne de første grensene spiller ingen rolle. Går du parallelt med y-aksen vil du gå fra y = 0 til y = x, og fra x = 0 til x = 1. Får håpe du skjønner hva jeg mener.

chrtsta skrev:Takk for svar, men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal kunne integrere med hensyn på y først. Det kunne ikke vært mulig å forklare fremgangsmåten? I kompendiet vi bruker fremstår det som at jeg må integrere på x først, og at funksjonene må være funksjoner av y. Jeg ser jo forsåvidt at det blir lagt opp til å gjøre det andre veien, men jeg ser ikke helt hvordan det skjer?

Egentlig er dette en konsekvens av Fubinis teorem:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem

Rekkefølgen kan byttes om, men da må integrasjonsgrensene også tas i betraktning. Måten å tenke seg dette på er slik:

Se for deg en bestemt verdi av x og still deg spørsmålet: hva vil grensene for y måtte være? For en gitt x vil y gå fra 0 til x. Dette blir derfor grensene.

Når det gjelder slike integraler vil ofte problemet være å finne grensene. Ikke selve integrasjonen.

Det skal ofte ikke så mange ordene til, så takk skal dere ha, det hjalp