Basis

[Jerv]

Finn basis for underrommet av R^4 utspent av vektoren (2, 7, 4, 8),
(1, 3, 2, 5) og (1, 5, 2, 1)?

Lurte på hvordan man løser denne?

Holder det da å sette opp vektorene i en matrise for så å løse den med
gauss og setter opp radene med et ledende 1 tall som basis. eller er dette da bare svaret på hva basisen til linjerommet?

[mrcreosote]

De 3 vektorene, kall de u, v og w, er lineært uavhengige og utgjør derfor allerede en basis.

[Jerv]

klarte ikke å bevise at disse er linært uavhengig med den generelle metoden men ser at det ikke finnes noe multiplum som gjør at vektorene blir like hverandre, holder dette som bevis for at de er linært uavhengige?
Foreleseren referete bare til at denne metoden brukes for samenligning av 2 vektorer.

Men uansett holder det å si at de 3 vektorene er basis for noen som skal spenne ut i R^4. Med gauss på vektor matrisen klarer jeg ikke å få mer en 2 ledende 1 tall, altså det er umulig å få flere en 3, hvor man da egentlig skulle hatt 4? eller jeg fulstendig på bæretur.

[Markonan]

Du jobber i [tex]\mathbb{R}^4[/tex], og kan ha underrom med 1,2 eller 3 dimensjoner. Det er vel også ha et underrom med 4 dimensjoner, men det blir hele vektorrommet du jobber i. Det går ikke i dette tilfellet siden du bare har tre vektorer.

Slo inn vektorene dine i matlab.

Kode: Velg alt

z =

     2     7     4     8
     1     3     2     5
     1     5     2     1

>> rref(z)

ans =

     1     0     2    11
     0     1     0    -2
     0     0     0     0

De utspenner altså et underrom med 2 dimensjoner, eller et plan om du vil.

Bær med meg, husker ikke så mye lineær algebra, men hvis jeg sier noe rart eller galt så vil vel du eller noen andre klare å ta meg på det.

[Gustav]

Du jobber i [tex]\mathbb{R}^4[/tex], og kan ha underrom med 1,2 eller 3 dimensjoner. Det er vel også ha et underrom med 4 dimensjoner, men det blir hele vektorrommet du jobber i. Det går ikke i dette tilfellet siden du bare har tre vektorer.

Slo inn vektorene dine i matlab.

Kode: Velg alt

z =

     2     7     4     8
     1     3     2     5
     1     5     2     1

>> rref(z)

ans =

     1     0     2    11
     0     1     0    -2
     0     0     0     0

De utspenner altså et underrom med 2 dimensjoner, eller et plan om du vil.

Bær med meg, husker ikke så mye lineær algebra, men hvis jeg sier noe rart eller galt så vil vel du eller noen andre klare å ta meg på det.

Hm, jeg tror ikke dette er helt riktig.

Feilen ligger i at du har betraktet fire vektorer i R^3, mens det riktige vil være 3 vektorer i R^4.

Som Mrcreosote sier er de tre vektorene lineært uavhengig, så dimensjonen på underrommet vil være 3.

For å bevise at de tre vektorene er lin.uavh. må du løse

au+bv+cw=0 og vise at dette impliserer a=b=c=0, f.eks. ved gausseliminasjon.

[mrcreosote]

Beklager, det er jeg som tok feil her. Med betegnelsene u, v og w som over har vi at w=-2u+3v, følgelig er vektorene ikke lineært uavhengige.

Hver vektor x i V=Span(u,v,w) kan skrives som en lineærkombinasjon x=au+bv+cw for reelle a,b,c, men siden w=-2u+3v, kan vi skrive x=au+bv+c(-2u+3v)=(a-2c)u+(b+3c)v, så alle vektorer i V kan skrives som en lineærkombinasjon av u og v; disse er ikke lineært avhengige og dermed danner u og v en basis for V.

[Gustav]

Beklager, det er jeg som tok feil her. Med betegnelsene u, v og w som over har vi at w=-2u+3v, følgelig er vektorene ikke lineært uavhengige.

Hver vektor x i V=Span(u,v,w) kan skrives som en lineærkombinasjon x=au+bv+cw for reelle a,b,c, men siden w=-2u+3v, kan vi skrive x=au+bv+c(-2u+3v)=(a-2c)u+(b+3c)v, så alle vektorer i V kan skrives som en lineærkombinasjon av u og v; disse er ikke lineært avhengige og dermed danner u og v en basis for V.

aha, jeg stolte blindt på ditt første innlegg om at de var lin.uavh....

[Markonan]

Vel, for å rette opp *min* feil.

Kode: Velg alt

A =

     2     1     1
     7     3     5
     4     2     2
     8     5     1

>> rref(A)

ans =

     1     0     2
     0     1    -3
     0     0     0
     0     0     0

Men det er fortsatt et plan som utspennes i [tex]\mathbb{R}^4[/tex] rommet!

Lineær Algebra fikk jeg A i... men husker nesten ingenting.
Moralen er: skippertak er ikke bra!

[Gustav]

Vel, for å rette opp *min* feil.

Kode: Velg alt

A =

     2     1     1
     7     3     5
     4     2     2
     8     5     1

>> rref(A)

ans =

     1     0     2
     0     1    -3
     0     0     0
     0     0     0

Men det er fortsatt et plan som utspennes i [tex]\mathbb{R}^4[/tex] rommet!

Lineær Algebra fikk jeg A i... men husker nesten ingenting.
Moralen er: skippertak er ikke bra!

Det ser bra ut:)

[Jerv]

Tusen takk for hjelpen

Tror jeg skjønner det nå.

2*(2, 7, 4, 8) - 3*(1, 3, 2, 5) = (1, 5, 2, 1) hvor faktorene 2 og -3 er det man finner ved hjelp av gauss-jordan på den transponerte av linje matrisen. og siden vektoren (1, 5, 2, 1) kan uttrykes som en lineær kombinasjon av vektorene (2, 7, 4, 8) og (1, 3, 2, 5) vil den være en vektor i planet som (2, 7, 4, 8) og (1, 3, 2, 5) utspenner og er derfor lineær avhenging.

(2, 7, 4, 8) = t*(1, 3, 2, 5) siden det da ikke finnes et tall for parameteren t som oppfyller likhetstegnet betyr det at de er lineært uavhengig.

Derfor er{ (2, 7, 4, 8), (1, 3, 2, 5) } en basis for underommet til L( (2, 7, 4, 8), (1, 3, 2, 5), (1, 5, 2, 1) ) R^4 hvor dimensjonen er 2?

[mrcreosote]

Ser ut som du har en god forståelse av det hele.