Kjerneregelen

[Sofoklis243]

Hei,

Har en oppgave jeg lurer litt på...: f(x)=sin(ln(x²+)) der jeg skal derivere funksjonen ved hjelp av kjerneregelen.
Har jeg misforstått hvis jeg gjør på dette viset:

f'(x) = cos (x)* (1/x²+1)

??

[Audunss]

Litt, dette er to kjerner, når du deriverer ln(x^2 +1) må du ta og gange med denne kjernen også, og du må ha cos(ln(x^2+1)), ivertfall slik jeg ser det.

[meCarnival]

Bare deriver alle ledd og gang de sammen...

[tex](sin(ln(x^2+1))^,\cdot (ln(x^2+1))^, \cdot (x^2+1)^, = cos(ln(x^2+1)) \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2xcos(ln(x^2+1))}{x^2+1}[/tex]

[Andreas345]

I dette tilfellet må du gange med den deriverte av både den indre og ytre kjernen.

[tex][ln(x^2+1)]\prime [/tex] og [tex](x^2+1)\prime[/tex]

[tex]f\prime=\frac {2x\cdot cos(ln(x^2+1))}{x^2+1} [/tex]

EDIT: OG HER HADDE ALLE SVART JA! ..nice nice

[meCarnival]

Hehe, sånn erre Andreas ...

[Sofoklis243]

Takk for raskt svar! Sliter litt med å identifisere kjerne og hva jeg skal definere som det, men skjønner at det her var snakk om to kjerner...
men jeg har en oppgave til som jeg lurer på om jeg kan dele opp i to faktorer og bruke produktregelen:

f(x)= e^(x²+1)/ [symbol:rot] x

Her tenkte jeg at jeg kunne dele inn i følgende faktorer:

1/ [symbol:rot] x

og
e^(x²+1)

Her blir vel x²+1 enda en kjerne

Således tenker jeg at man kan si følgende:

u(x)= 1/ [symbol:rot] x)
u'(x)= 1/1/(2* [symbol:rot] x) =2 [symbol:rot] x

v(x)=e^x²+1 = e^s der s= x²+1
v'(x)=e^(x²+1)*2x

Bruker produktregelen:
f'(x)=2 [symbol:rot] x*e^(x²+1)+(1/ [symbol:rot] x)*e^(x²+1)*2x =e^(x²+1)*((2x+2)/( [symbol:rot] x)

Gir dette mening?

[meCarnival]

Du må bruke regelen for bruk her men tankegangen i telleren er riktig. Det blir en egen kjerne...

Kvotient (brøk) regelen:

[tex]\frac{u}{v} = \frac{u^, \cdot v - u \cdot v^,}{v^2} [/tex]


U må kombineres med kjerne regelen som du har gjort i forrige post..

[Sofoklis243]

mulig jeg rota det til igjen, men fikk et ganske så annet svar på forrige oppgave enn jeg gjorde i første omgang, men det blir litt komplisert å skrive det ned her... kan jo prøve.
Jeg fikk f'(x) til å bli:

(e^(x^2+1) * ((3x-1)/(2 [symbol:rot] x)))/x

da har jeg satt u(x) som e^(x^2+1)
og v(x) som [symbol:rot] x
og brukt formelen du oppga.

Videre har jeg et nytt problem:

x [symbol:rot] (x-1)

Dette burde bli noe av det samme som ovenfor, men får det ikke helt til å stemme. Bruker produktregelen og får:

x/(2 [symbol:rot] (x-1) + 2(x-1)/(2 [symbol:rot] (x-1) = (3x-2)/( 2[symbol:rot] (x-1)

Dette er en del av et større uttrykk der man har en grenseverdi og man skal bruke L'Hospitals regel:
lim x ->1 x [symbol:rot] (x-1)/x-1 og når jeg setter inn for x så blir det null i nevneren men ikke i telleren!

[zell]

[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x\sqrt{x-1}}{x-1}[/tex]

Blir jo 0/0 det.

[Sofoklis243]

[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x\sqrt{x-1}}{x-1}[/tex]

Blir jo 0/0 det.

Jepp, men hvis man deriverer telleren og nevneren for seg ved å bruke L'Hospitals regel skal man kunne løse slike problemer. Men jeg sliter altså med uttrykket i telleren... ren derivasjon altså.

[meCarnival]

Produktregel...

[zell]

[tex]\lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)^{\frac{1}{2}}}{(x-1)^1} = \lim_{x\to 1} \frac{x}{\sqrt{x-1}}[/tex]

Vi hopper litt..

[tex]\lim_{x\to 1} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}} \lim_{x\to 1} 2\sqrt{x-1} = 0[/tex]

[meCarnival]

[tex]\lim_{x\to%201}%20\frac{x}{\sqrt{x-1}} \,\,\neq\,\, \frac{0}{0}[/tex] eller [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]

Han skal jo bruke L'hospital...


Derivasjon av teller:

[tex]u = x[/tex]
[tex]u^, = 1[/tex]
[tex]v = \sqrt{x-1}[/tex]
[tex]v^, = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}[/tex]

får:

[tex]\(x\sqrt{x-1}\)^, = \sqrt{x-1}+\frac{x}{2\sqrt{x-1}}[/tex]

[Sofoklis243]

Hei,
takker for svar. Men når man setter inn for x=1 så blir nevneren lik 0 og da konkluderer jeg med at grenseverdien går mot uendelig og at det er løsningen?

[meCarnival]

Jeg får [tex]\frac{5\,\cdot\,\sqrt{2}}{4}[/tex]...