Hei Igjen!
Har trøbbel med denne oppgaven.
Er det noen som kan hjelpe meg og gi meg et fullstendig løsningsforslag?
a)Bestem egenverdiene og et lineært uavhengig sett egenvektorer for matrisen: A(1 -2 )
3 -4
Bruk så relasjonen K-1AK=D til å vise at An=KDnK-1.
Bestem deretter matrisen An der A er gitt i oppgave a), ved først å diagnolisere A
Blir utrolig glad for en tilbakemelding på dette.
TAKK
matriseberegninger-egenvektorer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Finn først egenverdier og egenvektorer. Det er lærebokstoff. Så setter du egenverdiene inn i diagonal D matrisen og egenvektorene som søyler i K matrisen. Så regner du ut K^(-1) (invertert K). Så ganger du sammen KDK^(-1) og ser at du kommer tilbake til A.
Fasit på egenvektorer og egenverdier:
lambda1 = -1
lambda2 = -2
egenvektor1 = [ 1 1 ][sup]T[/sup] (søylevektor)
egenvektor2 = [ 2 3 ][sup]T[/sup] (søylevektor)
Du ser at disse to vektorene er lineært uavhengige for de peker i forskjellig retning. Lengden er ikke viktig, hvis du harr fått [2 2] og [1 1.5] så kan du bruke disse siden retning er den samme. (A har nemlig uendelig mange egevektorer, men bare to egenverdier).
K = [
1 2
1 3 ]
D = [
(-1) 0
0 (-2) ] (egenverdier på diagonal, see?)
inverterte 2x2 matriser kan regnes slik:
Når du har klart å regne A fra K D K^(-1) er det slik at
A = KDK^(-1)
A^2 = A A = (KDK^(-1)) (KDK^(-1)) = K D^2 K^(-1)
også videre impliserer at:
A^n = KD^nK^(-1)
Tenk deg at du skal regne ut A^10. Da kan du gange A ti ganger sammen. Tungvindt. Siden D er en diagonal matrise, kan du opphøye egenverdiene på diagonal, og så gange sammen K D^10 K^(-1).
Fasit på egenvektorer og egenverdier:
lambda1 = -1
lambda2 = -2
egenvektor1 = [ 1 1 ][sup]T[/sup] (søylevektor)
egenvektor2 = [ 2 3 ][sup]T[/sup] (søylevektor)
Du ser at disse to vektorene er lineært uavhengige for de peker i forskjellig retning. Lengden er ikke viktig, hvis du harr fått [2 2] og [1 1.5] så kan du bruke disse siden retning er den samme. (A har nemlig uendelig mange egevektorer, men bare to egenverdier).
K = [
1 2
1 3 ]
D = [
(-1) 0
0 (-2) ] (egenverdier på diagonal, see?)
inverterte 2x2 matriser kan regnes slik:
Kode: Velg alt
[ a b ]-1 1 [ d -b ]
[ ] = ----- [ ]
[ c d ] ad-bc [ -c a ]
A = KDK^(-1)
A^2 = A A = (KDK^(-1)) (KDK^(-1)) = K D^2 K^(-1)
også videre impliserer at:
A^n = KD^nK^(-1)
Tenk deg at du skal regne ut A^10. Da kan du gange A ti ganger sammen. Tungvindt. Siden D er en diagonal matrise, kan du opphøye egenverdiene på diagonal, og så gange sammen K D^10 K^(-1).