matematikk.net

Kan noen vær så vennlig å hjelpe meg med å finne overflaten av den delen av paraboloiden z = 2-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup] som blir skjært ut av kjeglen z = [symbol:rot] (x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])?

Hva har du gjort så langt?

Husker jeg har gjort samme oppgaven tidligere i år.

Første punkt på planen er ihvertfall å finne skjærtingspunktene mellom de to grafene.

Skjæringskurva er grei. Setter de to utrykkene lik hverdandre:

z = 2-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup] = [symbol:rot]x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup].

Litt omorganisering gir da at

x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+[symbol:rot]x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-2 = 0

som jo er en andregradsligning med x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup] som ukjent. Løser ut og får at skjæringskurven er en sirkel med radius lik 1. Så tenkte jeg å parametrisere kjeglen:

x = r cos θ
y = r sin θ med 0≤θ≤2[symbol:pi] og 0≤rθ≤1
z = r

Siden A = [symbol:integral] [symbol:integral] dσ finner jeg dσ ved å derivere r (r,θ) mhp de to variable å krysse dem. Absoluttverdien av dette skulle da bli dσ som jeg er ute etter. Får da dσ = [symbol:rot] 2r. Men dette kan da umulig stemme. Får ihvertfall feil svar når jeg så setter inn for grensene...

Dette ser riktig ut, bortsett fra at det er den avskjærte paraboloiden, og ikke kjeglen, vi skal beregne overflaten av.

Overflatedifferensialet er

[tex]d \sigma = \frac{\mid \nabla f \mid}{\mid \nabla f \cdot \vec{k} \mid} dA\\ = \mid-2x \vec{i} -2y \vec{j} + \vec{k} \mid dx dy \\ = \sqrt{4r^2 +1} r dr d\theta[/tex]

Enklest å bruke polarkoordinater.

Overflatearealet blir da
[tex] \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{4r^2+1} rdr d\theta \\ = 2\pi \left[\frac{1}{12} (4r^2+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} -1)[/tex]