matematikk.net

La A og B være m x n-matriser, og la C være en matrise slik at A=BC. Vis at Col(A) er inneholdt i Col(B).

Hvordan skal man vise dette?

Et forslag er:

Anta at [tex]A \vec{x_0} = \vec{b}. [/tex]
Da må [tex]\vec{b}[/tex] være i søylerommet til A.
Videre har vi at [tex]A=BC,[/tex] som gir at
[tex]BC \vec{x_0} = \vec{b}. [/tex]
Likninga [tex]B \vec{x} = \vec{b} [/tex]har da løsning [tex]\vec{x}=C \vec{x_0}.[/tex]
Følgelig må [tex] \vec{b}[/tex] også være i søylerommet til B.
Men om [tex]\vec{b}[/tex] både er i søylerommet til A og B, betyr det at Col(A) befinner seg i Col(B)? Slik konkluderte løsningsforslaget, men jeg ser ikke hvorfor.

Det LF gjør er å anta at b er i Col(A), og viser så at da må b være element i Col(B). Dette er nøyaktig det samme som at Col(A) er inneholdt Col(B). Tenk mengder.

Mer detaljert: (direkte bevis)

Anta b i Col(A). Da fins en [tex]x_o[/tex] slik at [tex]Ax_o=b[/tex].

Siden[tex] BCx_o=b[/tex] og [tex]Cx_o[/tex] er en vektor, vil b være en lineærkombinasjon av søylevektorene til B, ergo er b element i Col(B).


Alternativt bevis går som følger: (proof by contradiction)

Anta at det fins et element i Col(A) som ikke er i Col(B). Av samme årsaker som over vil vi få en motsigelse, ergo er alle elementer i Col(A) også med i Col(B), og derfor er Col(A) inneholdt i Col(B)