Polynomfaktorisering

[Betelgeuse]

God morgen! Jeg skal foreta meg en reel og kompleks faktorisering av polynomet

[tex]P(x)=z^6-4z^3+4[/tex]

og vet ikke helt hvor jeg skal begynne her. De triksene jeg kan fra boka er at jeg vet er at

1) hvis polynomet er av odde grad så har polynomet en reel rot.

2) hvis et komplekst tall z er rot så er også z-konjugert en rot.

3) to konjugerte røtter har alltid samme multiplisitet.


I boken beviste de at ethvert reelt polynom av odde grad har en reell rot, dette polynomet er ikke av odde grad, men det kan vel likevel ha reelle røtter? Jeg ser uansett ingen opplagte reelle røtter jeg kan benytte meg av...

Jeg tenker at den eneste måten å gå frem på her er å teste om noen enkle komplekse tall z er røtter av polynomet og så benytte meg av 2) og 3) for å så gjøre en polynomdivisjon og se om jeg da evt. kan løse sette den restrerende faktoren lik null og finne resten av røttene.

Er det noe jeg overser som jeg kan benytte meg av her eller er eneste måte å teste komplekse tall og se om de gir P(z)=0?

[Markonan]

Er noe du overser ja.

Sett u = z[sup]3[/sup], så får du polynomet:

[tex]P(u) = u^2 - 4u + 4[/tex].

Et triks du helt sikkert kjenner til.

[Betelgeuse]

Hehe, allright! Takker! Jeg kjente faktisk ikke til trikset (hadde ikke realfag på videreågende ), men da antar jeg at dette er noe du kan bruke når leddene i polynomet er multipler av hverandre?

Faktoriserer jeg polynomet nå får jeg [tex]P(z)=(z^3-2)^2[/tex] noe som taler for at [tex]2^{1/3}[/tex] er rot med multiplisitet 2. Er det beste å foreta seg nå en polynomdivisjon? Jeg ser i fasiten at resten av røttene er komplekse..

[=)]

Jeg kan tenke meg at de to neste røttene er de to andre kubikkrøttene til 2.

[Gustav]

Hehe, allright! Takker! Jeg kjente faktisk ikke til trikset (hadde ikke realfag på videreågende ), men da antar jeg at dette er noe du kan bruke når leddene i polynomet er multipler av hverandre?

Faktoriserer jeg polynomet nå får jeg [tex]P(z)=(z^3-2)^2[/tex] noe som taler for at [tex]2^{1/3}[/tex] er rot med multiplisitet 2. Er det beste å foreta seg nå en polynomdivisjon? Jeg ser i fasiten at resten av røttene er komplekse..

[tex](z^3-2)^2=0[/tex] så [tex]z^3=2[/tex]

Husk at [tex]z=re^{\theta i}[/tex] og [tex]e^{\theta i}=e^{\theta i +2\pi k i}[/tex] (som vanlig er [tex] k\in \mathbb{Z}[/tex]).

Skriv så [tex]z^3=2=2e^{2\pi k i}[/tex].

Derfor blir [tex]z=2^{\frac13}e^{\frac{2\pi k i}{3}}[/tex] der [tex]k={0,1,2}[/tex]

[lodve]

Er noe du overser ja.

Sett u = z[sup]3[/sup], så får du polynomet:

[tex]P(u) = u^2 - 4u + 4[/tex].

Et triks du helt sikkert kjenner til.

Veldig smart gjort

[Betelgeuse]

Hehe, allright! Takker! Jeg kjente faktisk ikke til trikset (hadde ikke realfag på videreågende ), men da antar jeg at dette er noe du kan bruke når leddene i polynomet er multipler av hverandre?

Faktoriserer jeg polynomet nå får jeg [tex]P(z)=(z^3-2)^2[/tex] noe som taler for at [tex]2^{1/3}[/tex] er rot med multiplisitet 2. Er det beste å foreta seg nå en polynomdivisjon? Jeg ser i fasiten at resten av røttene er komplekse..

[tex](z^3-2)^2=0[/tex] så [tex]z^3=2[/tex]

Husk at [tex]z=re^{\theta i}[/tex] og [tex]e^{\theta i}=e^{\theta i +2\pi k i}[/tex] (som vanlig er [tex] k\in \mathbb{Z}[/tex]).

Skriv så [tex]z^3=2=2e^{2\pi k i}[/tex].

Derfor blir [tex]z=2^{\frac13}e^{\frac{2\pi k i}{3}}[/tex] der [tex]k={0,1,2}[/tex]

Ah, selvfølgelig. Jeg må få det inn i nøtta at et reelt tall også har komplekse røtter. Har jo akkurat lært dette, men det å anvende det på en litt spesiell situasjon... Rocketakk!<3

PS: fikk akkurat den åpenbaring at jeg hadde løst tidligere oppgaver på en unødvendig tung og dustete måte (polynomdivisjon etc.. pffft)