Skal finne de komplekse løsningene til:
Z[sup]3[/sup] = i[rot][/rot]3*3
Får den tredje løsningen og reelle tallene i løsningene til å stemme, men ikke de imaginære tallene.
Komplekse tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg regner med at du ønsker å løse de komplekse røttene. Jeg har ikke så peiling på dette, men hva med å bruke sammenhengen:
z[sup]n[/sup] = r[sup]n[/sup] ( cos(n*teta) + i * sin(n*teta) ) = r[sup]n[/sup] e[sup]i*n*teta[/sup]
siden z[sup]3[/sup] = 3 [rot][/rot]3 i = [rot][/rot](3*3*3) i
og der er bare imaginærdel her så en kan vi lese av radiusen:
r^3 = 3[rot][/rot]3
r = [rot][/rot]3
og siden det komplekse uttrykket for z^3 er rent imaginært, skriver vi vinkelen 3*teta = Pi/2.
fordi atte atte:
z^3 = 3Rot(3) * (Cos Pi/2 + iSin Pi/2) = 3Rot(3) i
hvis vi setter dette inn for z^n , n=3 får vi at
3*teta = Pi/2 => teta = Pi/6
z^1 = [rot][/rot]3 ( cos Pi/6 + i Sin Pi/6 )
løser du cos og sin her får du løsning på normal form. Men jeg husker aldri disse sin og cos løsningene. Men de er jo eksakte ved Pi/6. Kan en finne z ved andre vinkler ?
test til slutt..
z * z * z = [rot][/rot]3 [rot][/rot]3 [rot][/rot]3 e[sup]i (Pi/6 + Pi / 6 + Pi/6)[/sup] = 3 [rot][/rot]3 e[sup]i Pi/2[/sup] = 3 [rot][/rot]3 i
Håper dette hjalp litt. Ps bruker å skrive om på polarform fordi det er lettere å gange/dele komplekse på polarform. Ellers er normalform det beste for subtraksjon og addisjon.
z[sup]n[/sup] = r[sup]n[/sup] ( cos(n*teta) + i * sin(n*teta) ) = r[sup]n[/sup] e[sup]i*n*teta[/sup]
siden z[sup]3[/sup] = 3 [rot][/rot]3 i = [rot][/rot](3*3*3) i
og der er bare imaginærdel her så en kan vi lese av radiusen:
r^3 = 3[rot][/rot]3
r = [rot][/rot]3
og siden det komplekse uttrykket for z^3 er rent imaginært, skriver vi vinkelen 3*teta = Pi/2.
fordi atte atte:
z^3 = 3Rot(3) * (Cos Pi/2 + iSin Pi/2) = 3Rot(3) i
hvis vi setter dette inn for z^n , n=3 får vi at
3*teta = Pi/2 => teta = Pi/6
z^1 = [rot][/rot]3 ( cos Pi/6 + i Sin Pi/6 )
løser du cos og sin her får du løsning på normal form. Men jeg husker aldri disse sin og cos løsningene. Men de er jo eksakte ved Pi/6. Kan en finne z ved andre vinkler ?
test til slutt..
z * z * z = [rot][/rot]3 [rot][/rot]3 [rot][/rot]3 e[sup]i (Pi/6 + Pi / 6 + Pi/6)[/sup] = 3 [rot][/rot]3 e[sup]i Pi/2[/sup] = 3 [rot][/rot]3 i
Håper dette hjalp litt. Ps bruker å skrive om på polarform fordi det er lettere å gange/dele komplekse på polarform. Ellers er normalform det beste for subtraksjon og addisjon.
-
DarkMatter
Fikk disse tre løsningene:
3/2 + i[rot][/rot]3/2
-3/2 + i[rot][/rot]3/2
-[rot][/rot]3i
3/2 + i[rot][/rot]3/2
-3/2 + i[rot][/rot]3/2
-[rot][/rot]3i
-
Gjest
Jeg bruker å gjøre det så enkelt som å regne ut en løsning, og da vet man at de andre ligger symmentrisk rundt en sirkel. Dvs like mange rad mellom hver rot.
Du har denne formelen her. Ser ikke ut som du trenger å ta
rota til radius forran eksponentialfunksjonen
z[sup]n[/sup] = r[sup]n[/sup] ( cos(n*teta) + i * sin(n*teta) ) = r[sup]n[/sup] e[sup]i*n*teta[/sup]
Beklager, jeg misforstod litt når jeg sa at z*z*z er det samme som å
rotere.... Det var jo løsningene vi snakket om, ikke hva z^n var.
Mvh,
MV
rota til radius forran eksponentialfunksjonen
z[sup]n[/sup] = r[sup]n[/sup] ( cos(n*teta) + i * sin(n*teta) ) = r[sup]n[/sup] e[sup]i*n*teta[/sup]
Beklager, jeg misforstod litt når jeg sa at z*z*z er det samme som å
rotere.... Det var jo løsningene vi snakket om, ikke hva z^n var.
Mvh,
MV
Hehe. tror vi i bunn og grunn er enige. I følge den formelen din må man jo også ta n-te-rota av r^n om man vil finne z.
gitt z[sup]n[/sup]= r e[sup]i*theta[/sup]
så blir vel:
z = [sup]n[/sup][rot][/rot]r * e[sup]i*(theta + 2k[pi][/pi])/n[/sup] , k = 0,1,2,3...
Altså må man ta rota av radiusen for å finne rota til z. Og da er det jo også ganske naturlig at radiusen forandrer seg når du ganger sammen z med seg selv igjen.
Et eks:
Gitt z[sup]3[/sup] = 1+i
Finn z.
r = 2^(1/2)
og theta = arctan(1/1) = [pi][/pi]/4
løsningene blir:
z = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i([pi][/pi]/4 + 2k[pi][/pi])/3[/sup] , k=0,1,2,3...
som skulle gi:
z1 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i[pi][/pi]/12[/sup] (k=0)
z2 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i9[pi][/pi]/12[/sup] (k=1)
z3 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i17[pi][/pi]/12[/sup] (k=2)
Altså ser vi at radiusen i rota av z er 2^(1/6) mot 2^(1/2) som var utgangspunktet. Mener at denne teorien stemmer fint med formelen din også, men den er litt forvirrende siden r er skrevet som r^n, og da er det jo klart at n-te-rota av r^n må bli r, akkurat som n-te-rota av r = r^(1/2). Jeg vet ikke om jeg klarte å forklare helt hva jeg mente der men. Se på formlene og sammenlign så skjønner du sikkert hva jeg mener. Det eksemplet stemmer i alle fall etter mine begreper, rett meg om jeg tar feil.
gitt z[sup]n[/sup]= r e[sup]i*theta[/sup]
så blir vel:
z = [sup]n[/sup][rot][/rot]r * e[sup]i*(theta + 2k[pi][/pi])/n[/sup] , k = 0,1,2,3...
Altså må man ta rota av radiusen for å finne rota til z. Og da er det jo også ganske naturlig at radiusen forandrer seg når du ganger sammen z med seg selv igjen.
Et eks:
Gitt z[sup]3[/sup] = 1+i
Finn z.
r = 2^(1/2)
og theta = arctan(1/1) = [pi][/pi]/4
løsningene blir:
z = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i([pi][/pi]/4 + 2k[pi][/pi])/3[/sup] , k=0,1,2,3...
som skulle gi:
z1 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i[pi][/pi]/12[/sup] (k=0)
z2 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i9[pi][/pi]/12[/sup] (k=1)
z3 = r[sup]1/6[/sup] * e[sup]i17[pi][/pi]/12[/sup] (k=2)
Altså ser vi at radiusen i rota av z er 2^(1/6) mot 2^(1/2) som var utgangspunktet. Mener at denne teorien stemmer fint med formelen din også, men den er litt forvirrende siden r er skrevet som r^n, og da er det jo klart at n-te-rota av r^n må bli r, akkurat som n-te-rota av r = r^(1/2). Jeg vet ikke om jeg klarte å forklare helt hva jeg mente der men. Se på formlene og sammenlign så skjønner du sikkert hva jeg mener. Det eksemplet stemmer i alle fall etter mine begreper, rett meg om jeg tar feil.
Ok. Jeg har ikke fått sett over enda. Hvordan trur du det gikk på eksamen?
kan prøve sette løsningene på prøve. Dropper radius da.
z1^3 = r^(3/6) * e^(i3Pi/12) = r^(1/2) * e^(iPi/4)
Vinkelen Pi/4 som ser ut til å være ok med det du startet med.
z2^3 = r^(noe) * e^(i3*9Pi/12)
Teta = 9 Pi / 4 hmm det må være (8Pi + Pi)/4 = 2Pi + Pi/4, som ser ut til å peke riktig den også
z3^3 = r^(noe) * e^(i3*17Pi/12)
Teta = 3*17Pi/12 = 17Pi/4 = (16+1)Pi/4 = 2*2Pi + Pi/4, ok.
Jeg forstår forvirringen med formelen. Men jeg ville tru det var lettere å lese av r^3 av z^3 med en gang, istedenfor å lese av r fra vinkelen til z^3
kan prøve sette løsningene på prøve. Dropper radius da.
z1^3 = r^(3/6) * e^(i3Pi/12) = r^(1/2) * e^(iPi/4)
Vinkelen Pi/4 som ser ut til å være ok med det du startet med.
z2^3 = r^(noe) * e^(i3*9Pi/12)
Teta = 9 Pi / 4 hmm det må være (8Pi + Pi)/4 = 2Pi + Pi/4, som ser ut til å peke riktig den også
z3^3 = r^(noe) * e^(i3*17Pi/12)
Teta = 3*17Pi/12 = 17Pi/4 = (16+1)Pi/4 = 2*2Pi + Pi/4, ok.
Jeg forstår forvirringen med formelen. Men jeg ville tru det var lettere å lese av r^3 av z^3 med en gang, istedenfor å lese av r fra vinkelen til z^3
Joda eksamen gikk veldig fint den. Faget var matematikk3. Diff. ligninger, matriser, vektorrom, determinanter, egenvektrorer, egenverdier, rotasjonsmatriser osv. er stortsett det pensum går ut på. Et av de lettere mattefagene. Siste av 4 stk i dag så, nå er det sommer:)