matematikk.net

Oppgaven er å finne tyngdepunktet til halvsirkelen [tex]\sqrt{a^2-x^2}[/tex]

[tex]\overline{x}=0[/tex] pga symmetrien.

I boken har de kommet frem til svaret ved å sette:

[tex]\overline{y}=\frac{M_x}{M}[/tex]

der

[tex]M_x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{a^2\sin{\theta}}d\theta[/tex] og [tex]M=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{ad\theta}[/tex]

Da får man [tex]\overline{y}=\frac{2a}{\pi}[/tex]

Jeg har løst oppgaven på en annen måte:
[tex]M_x=\frac{1}{2}\int_0^a{a^2-x^2}dx[/tex]
[tex]M=\int_0^a{\sqrt{a^2-x^2}dx}[/tex]

[tex]\overline{y}=\frac{4a}{3\pi}[/tex]

Boka får altså at tyngdepunktet er på (0, 0.64a), mens jeg får (0, 0.42a). Personlig synes jeg at mitt resultat er mer logisk. Siden tyngdepunktet burde ligger forbi 0,5a mot x-aksen, siden legemet er størst nærmest x-aksen.

Hva mener dere? Ser dere noen feil?

Ingen som kan hjelpe meg?

ser ut som svaret ditt er riktig;

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids

Jeg tror nok at det er læreboka som har rett. Husk at det er kurven og ikke området man skal finne tyngdepunktet til. En kan forøvrig sjekke svaret ved hjelp av en av Guldins regler. Ved en full rotasjon av tyngdepunktet om x-aksen tilbakelegger det en avstand [tex]2\pi \bar y[/tex]. Multipliseres dette med kvartsirkelomkretsen, får man arealet av halvkuleflaten som gjennomløpes.