Bruk produktregelen f'(x) = u' * v + u * v'
og (d/dx) (x) = 1
til å (be)vise at f(x)= x^n derivert blir f'(x) = n* x^(n-1)
Trenger hjelp til å forstå hvordan man gjør det?
Bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ok, formelen du skal vise er altså at det for alle postive heltall n er slik at
[tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex]
Første induksjonssteg:
Viser at formelen gjelder for n=1. Dette ligger i antagelsen i oppgaven.
Andre steg:
Anta at [tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex] for én bestemt n. Må da vise at formelen gjelder for n+1:
Vi har at [tex] (x^{n+1})^,=(x\cdot x^n)^,[/tex] og bruker produktregelen for derivasjon:
Da får vi at [tex] (x\cdot x^{n})^,=x^,\cdot x^n+x(x^n)^,[/tex]. Siden vi har antatt at formelen er riktig for n og at den deriverte av x er 1, får vi...
Tar du det herfra?
[tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex]
Første induksjonssteg:
Viser at formelen gjelder for n=1. Dette ligger i antagelsen i oppgaven.
Andre steg:
Anta at [tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex] for én bestemt n. Må da vise at formelen gjelder for n+1:
Vi har at [tex] (x^{n+1})^,=(x\cdot x^n)^,[/tex] og bruker produktregelen for derivasjon:
Da får vi at [tex] (x\cdot x^{n})^,=x^,\cdot x^n+x(x^n)^,[/tex]. Siden vi har antatt at formelen er riktig for n og at den deriverte av x er 1, får vi...
Tar du det herfra?
Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)
x^n + x * (x^n)'
Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s
x^n + x * (x^n)'
Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s
<3
-----------------------------------
Matematikk 3, NTNU
-----------------------------------
Matematikk 3, NTNU
Det du nå skal bruke er jo antagelsen om at [tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex].pjuus skrev:Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)
x^n + x * (x^n)'
Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s
Regner med at mange sliter med induksjonsbevis; egentlig er det lett, men tankegangen er uvant. Det som er viktig å innse i steg 2 er at du antar at formelen gjelder for en bestemt n (her er det kanskje pedagogisk å sette n=k), og så utleder du at den dermed gjelder for neste verdi av n, nemlig n=k+1. Siden du i steg 1 har vist at den gjelder for n=1, vil du få en dominoeffekt; fra det du har vist i steg to vil dermed formelen gjelde for n=2 og da vil den gjelde for n=3 osv. osv. ut i uendeligheten. Konklusjonen er derfor at formelen er gyldig for alle n større enn eller lik 1.
Vi ønsker å vise at [tex][x^n]^\prime=nx^{n-1}[/tex] ved å bruke produktregelen og at [tex][x]^\prime=1[/tex].
Tilfellet [tex]n=1[/tex] er nettopp den andre antakelsen.
Anta nå påstanden stemmer for [tex]n=k[/tex]. Vi må vise at den også stemmer for [tex]n=k+1[/tex].
Per antakelse er [tex][x^k]^\prime=kx^{k-1}[/tex]. Ved produktregelen og induksjonshypotesen har vi at [tex][x^{k+1}]^\prime=[x^kx]^\prime=kx^{k-1}x+x^k=(k+1)x^k[/tex], som viser at formelen stemmer for [tex]n=k+1[/tex].
Tilfellet [tex]n=1[/tex] er nettopp den andre antakelsen.
Anta nå påstanden stemmer for [tex]n=k[/tex]. Vi må vise at den også stemmer for [tex]n=k+1[/tex].
Per antakelse er [tex][x^k]^\prime=kx^{k-1}[/tex]. Ved produktregelen og induksjonshypotesen har vi at [tex][x^{k+1}]^\prime=[x^kx]^\prime=kx^{k-1}x+x^k=(k+1)x^k[/tex], som viser at formelen stemmer for [tex]n=k+1[/tex].
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)