matematikk.net

Bruk produktregelen f'(x) = u' * v + u * v'
og (d/dx) (x) = 1

til å (be)vise at f(x)= x^n derivert blir f'(x) = n* x^(n-1)

Trenger hjelp til å forstå hvordan man gjør det?

Bruk induksjon.

Steg 1. Formelen gjelder for n=1 per antagelse.

Steg 2. Anta at formelen gjelder for en bestemt n. Vis at den dermed gjelder for n+1. Bruk at [tex]x^{n+1}=x^n\cdot x[/tex] og videre produktregelen.

Kan du gjøre den første delen?

Ok, formelen du skal vise er altså at det for alle postive heltall n er slik at

[tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex]

Første induksjonssteg:

Viser at formelen gjelder for n=1. Dette ligger i antagelsen i oppgaven.

Andre steg:

Anta at [tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex] for én bestemt n. Må da vise at formelen gjelder for n+1:

Vi har at [tex] (x^{n+1})^,=(x\cdot x^n)^,[/tex] og bruker produktregelen for derivasjon:

Da får vi at [tex] (x\cdot x^{n})^,=x^,\cdot x^n+x(x^n)^,[/tex]. Siden vi har antatt at formelen er riktig for n og at den deriverte av x er 1, får vi...


Tar du det herfra?

Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)

x^n + x * (x^n)'

Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s

pjuus skrev:Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)

x^n + x * (x^n)'

Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s

Det du nå skal bruke er jo antagelsen om at [tex](x^n)^,=nx^{n-1}[/tex].

Regner med at mange sliter med induksjonsbevis; egentlig er det lett, men tankegangen er uvant. Det som er viktig å innse i steg 2 er at du antar at formelen gjelder for en bestemt n (her er det kanskje pedagogisk å sette n=k), og så utleder du at den dermed gjelder for neste verdi av n, nemlig n=k+1. Siden du i steg 1 har vist at den gjelder for n=1, vil du få en dominoeffekt; fra det du har vist i steg to vil dermed formelen gjelde for n=2 og da vil den gjelde for n=3 osv. osv. ut i uendeligheten. Konklusjonen er derfor at formelen er gyldig for alle n større enn eller lik 1.

Noen som kan ta hele dette beviset?

Vi ønsker å vise at [tex][x^n]^\prime=nx^{n-1}[/tex] ved å bruke produktregelen og at [tex][x]^\prime=1[/tex].

Tilfellet [tex]n=1[/tex] er nettopp den andre antakelsen.

Anta nå påstanden stemmer for [tex]n=k[/tex]. Vi må vise at den også stemmer for [tex]n=k+1[/tex].

Per antakelse er [tex][x^k]^\prime=kx^{k-1}[/tex]. Ved produktregelen og induksjonshypotesen har vi at [tex][x^{k+1}]^\prime=[x^kx]^\prime=kx^{k-1}x+x^k=(k+1)x^k[/tex], som viser at formelen stemmer for [tex]n=k+1[/tex].