matematikk.net

Vis at grafen til ligningen:

y = x^3 + y^3 = xy -1

ikke har horisontal tangent i noen punkter.


Kladd:
Det jeg tenkte var å derivere funksjonen, for så å vise at stigningstallet aldri kan bli null. Men da står jeg fast, siden jeg ikke vet hvordan jeg skal vise at stigningstallet aldri blir null.

Deriver ligningen og sett den deriverte lik null. Hvis det ikke finnes noen løsninger, har grafen ingen horisontal tangent.

Når jeg deriverte fikk jeg:

(-3x^2) / (3y^2-x)


Når jeg setter den lik null, vil jeg jo ikke klare å finne en x og y-verdi? ;S
Skjønner ikke helt hvordan jeg skal konkludere at den ikke har noen horisontal linje.

Du har jo ligningen x^3+y^3=xy-1

Bruk partiell derivasjon. Har du lært det ennå?

Nei, har ikke det enda.

[tex]x^3 + y^3 = xy -1 [/tex]

Implisitt derivasjon gir

[tex]3x^2+3y^2y^,=y+xy^,[/tex]

så [tex]3x^2-y=(x-3y^2)y^,[/tex]

Anta at [tex]y^,=0[/tex] for en eller annen [tex]x[/tex]. Da må

[tex]y=3x^2[/tex]. PLugger vi dette inn i den opprinnelige ligningen får vi

[tex]x^3+27x^6=3x^3-1[/tex] så [tex] 27x^6-2x^3+1=0[/tex].

Del på [tex]27[/tex] og sett [tex]z=x^3[/tex].

Da får du en 2.gradsligning som enkelt løses.

Du må vise at denne ikke har noen reelle løsninger.

hadde nesten samme fremgangsmåte som plutarco

skjønte ikke at y`var riktig og ikke 1

forøvrig så blir det vel en tredjegradsligning på slutten og med løsning eller så har jeg kanskje misforstått grunnet utmattelse