matematikk.net

Fra side 38 i Kalkulus, opplag 3:

Finn den omvendte funksjonen til
[tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex]
dersom den eksisterer.

1. [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
2. [tex]\sqrt{x}-2=y^{2}[/tex]
3. [tex]\sqrt{x}=2+y^{2}[/tex]
4. [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex]

som er den eneste løsningen. Funksjonen er altså injektiv, og den omvendte funksjonen er

[tex]f^{-1}(x)=(2+x^{2})^{2}[/tex]

Mine spørsmål:
1. Hvor ble det av absoluttverdi tegnet rundt:
[tex]\sqrt{x}-2[/tex]
i 2?

Dette skjer igjen i punkt 4.

2. Er begrunnelsen for at f(x) er injektiv at vi bare kommer frem til et svar? Hvis absoluttverdien hadde vært med her, ville det jo blitt 2 svar, og da hadde f(x) ikke blitt injektiv.

Kan noen forklare det for meg.

Det er noe mystisk som skjer her!

Det er kvadratroten som blir "borte". Absoluttverditegnet er de to strekene, som f.eks absoluttverdien til 2: |2|.

Uansett: for å fjerne kvadratroten tar du bare og kvadrerer, eller opphøyer i annen på begge sidene.

[tex]\sqrt{x} = 5[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2 = 5^2[/tex]
[tex]x = 25[/tex]

Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).

Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.

Har du noen definisjonsmengde til funksjonen?

Edit:

Beklager, forklarte ikke godt nok:

[tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]

Så hvorfor er ikke:

[tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex]
[tex](\sqrt{\sqrt{x}-2})^2=y^{2}[/tex]
[tex]|\sqrt{x}-2|=y^{2}[/tex]

Øøøøøøøø...

Så først nå at det ble "mostatt" av [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex], altså eksponenten utenforbi kvadratroten.

Jeg tror jeg lurer meg selv.

Hmm...

Så det er på grunn av at eksponenten er utenforbi at det ikke blir absoluttverdi da?

I følge boken:
Definisjonsmengden til funksjonen er ikke angitt. Det er derfor underforstått at definisjonsmengden er størst mulig. Kommer frem til at:
[tex]D_{f}=[0, \infty)[/tex]

Det er forskjell på å sette kvadratrot enn å ta bort...

[tex]y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x[/tex]

[tex]y^2 = x \Rightarrow y = \pm \sqrt{x}[/tex]


Tror det ble riktig hvis jeg ikke er litt for sliten akkurat nå =(

Ok, takker. Det forklarer hvorfor jeg er på blåbær tur!

Markonan skrev:Men den inverse funksjonen du kommer frem til er vel heller ikke injektiv?
En injektiv funksjon er slik at hvis a [symbol:ikke_lik] b så er f(a) [symbol:ikke_lik] f(b).

Men hvis du setter inn a=-2 og b=2 for y i funksjonen din, får du jo 36 i begge tilfeller.

Hmmm...

I følge boken, så er [tex]f(x)=\sqrt{\sqrt{x}-2}[/tex] injektiv, pga at [tex]x=(2+y^{2})^{2}[/tex] er den eneste løsningen. Men jeg ser hva du sier...

Det står også:

Dersom likningen [tex]\sqrt{\sqrt{x}-2}=y[/tex] har mer enn en løsning x for noen gitt y, er f ikke injektiv.

Note: Beklager for at jeg ikke redigerte innlegget ovenfor...

Er meget usikker på hva som skjer nå.

Man kan jo ikke ta kvadratroten til et negativt tall, derfor må x være i intervallet [4, [symbol:uendelig] ) for at f(x) skal være definert.

Da blir verdimengden til f: [0, [symbol:uendelig] ).

Når vi tar den inverse funksjonen igjen, så blir definisjonsmengden den gamle verdimengden, så vi trenger bare å se på positive tall. Da er funksjonen injektiv, siden funksjonen er strengt voksende.

Takk! Har dette under kontrol nå. Steng dette emne om dere vil.