matematikk.net

Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å bevise at grenseverdien eksisterer.

[tex]\lim_{x\to2}{x-2\over 1+x^2}=0[/tex]

Kunne trenge litt starthjelp til denne.

Her må du som sagt bruke den formelle definisjonen av en grense.

[tex]0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - L | < \epsilon[/tex]

Det vil si at for enhver verdi [tex] \epsilon > 0 [/tex] så må vi kunne beregne en konkret verdi [tex] \delta [/tex] som oppfyller kravet, uansett hvor liten [tex] \epsilon [/tex] måtte bli.

Hvis du setter inn i andre likning:

[tex]\left| \frac{x-2}{1+x^2} - 0 \right| < \epsilon[/tex]

Se om du få gjort om den likningen på formen:

[tex]A < x - 2 < B,\; A < 0,\; B > 0[/tex]

Holder på med den formelle definisjonen av en grense selv, så kan godt hende det er noen logiske glipper her, osv.

Gitt enhver [tex]\epsilon[/tex] skal du kunne velge en [tex]\delta[/tex] slik at når [tex]|x-2| <\delta[/tex], så er [tex]|\frac{x-2}{1+x^2}| < \epsilon[/tex].

Hint:

[tex]|\frac{x-2}{1+x^2}|=\frac{|x-2|}{1+x^2} < \delta \frac{1}{1+x^2}[/tex]

Hva må du nå velge delta?