matematikk.net

Jeg har en oppgave om å finne energien til koherente tilstander til en harmonisk oscillator.

Kom fram til følgende uttrykk for energien:
[tex] \frac{\hbar \omega}{2}|c_0|^2\left[\sum_{n=0}^{\infty} \left(2n\frac{\beta^{2n}}{n!}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\beta^{2n}}{n!}\right)\right][/tex]

Den siste summen vet jeg blir [tex]e^{|\beta|^2}[/tex]

men hva blir [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \left(2n\frac{\beta^{2n}}{n!}\right)[/tex] ?

Hint: Prøv å justere litt på eksponentene for så å integrere med hensyn på [tex]\beta[/tex].

Fant det ut mens jeg satt å grubla litt.

Her er løsningen

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \left( 2n \frac{\beta^{2n}}{n!}\right)=2 \beta^{2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\beta^{2(n-1)}}{(n-1)!}=2\beta^2 e^{\beta^2}[/tex]

Siden det egentlig er snakk om komplekse tall mangler jeg noen absoluttverdier, men tegningen er den samme.